1 · Wie groß ist E3 im Verhältnis zu E1?
Lösung ansehen
E3 = 9E1.
Physik verstehen und üben · Quantenphysik
Physik · Sekundarstufe I und II
Teilchen im Potentialtopf: verstehen und üben
Warum kann ein eingeschlossenes Quantenteilchen nur bestimmte Energien besitzen? Untersuche die Zustände eines Elektrons zwischen zwei ideal undurchdringlichen Wänden.
En = n²h²8mL²
Höhere Zustände haben mehr Energie. Ein breiterer Potentialtopf besitzt kleinere Energieabstände.
Ein bewusst einfaches Modell
Der eindimensionale, unendlich hohe Potentialtopf beschränkt ein Teilchen auf den Bereich 0 < x < L. Im Inneren setzen wir die potenzielle Energie V gleich null. Außerhalb ist sie unendlich groß: Das Teilchen kann die Wände in diesem Modell nicht durchdringen.
Das Modell beschreibt keine kleine Kugel auf einer beobachtbaren Zickzackbahn. Eine Wellenfunktion beschreibt den Quantenzustand. Ihr Betragsquadrat liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte für Ortsmessungen.
Wir betrachten ein einzelnes nichtrelativistisches Elektron ohne weitere Kräfte im Inneren. Echte Materialien haben endliche Barrieren und zusätzliche Wechselwirkungen; der unendliche Topf ist eine nützliche Idealisierung.
Randbedingungen führen zu diskreten Energien
An den beiden Wänden verschwindet die Wellenfunktion: ψ(0) = ψ(L) = 0. Im Topf passen deshalb nur stehende räumliche Wellenformen mit einer ganzen Zahl von halben Wellenlängen:
L = n · λn2; λn = 2Ln; n = 1, 2, 3, …
Mit dem Impulsbetrag p = h/λ und E = p²/(2m) erhält man:
En = n²h²8mL²
n = 0 wäre keine zulässige Teilchenlösung: Die Wellenfunktion wäre überall null und ließe sich nicht auf eine Gesamtwahrscheinlichkeit von eins normieren. Die kleinste Energie ist daher E1 > 0, gemessen relativ zum Topfboden.
ψn(x) = √(2L) · sin(nπxL)
ρn(x) = |ψn(x)|² = 2L · sin²(nπxL)
Wellenform und Wahrscheinlichkeit vergleichen
Elektron: n = 1, L = 1 nm; E1 ≈ 0,376 eV; keine inneren Knoten.
Unterrichtsimpuls
Vergleiche n = 1 und n = 2. Bei n = 2 ist in der Mitte ein Knoten. Die negative Hälfte der oberen Kurve wird unten positiv. Verdopple dann bei festem n die Breite: Die Energie sinkt auf ein Viertel.
Was bedeutet eine Wahrscheinlichkeitsdichte?
ρ(x) ist keine Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen exakten Ort. Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall ergibt sich als Fläche unter der Dichtekurve in diesem Intervall. Über den gesamten Topf ist diese Fläche eins.
In einem Energieeigenzustand ist diese Dichte zeitlich unverändert. Die vollständige Wellenfunktion enthält zwar einen zeitabhängigen komplexen Phasenfaktor; ihr Betragsquadrat ändert sich dadurch aber nicht.
Der Zustand n hat n − 1 innere Knoten. Dort ist die Dichte null. Ein negatives Vorzeichen der reellen Wellenfunktion bedeutet keine negative Wahrscheinlichkeit.
In der Grafik wird x/L statt x aufgetragen. Unten hat die Fläche unter Lρ über x/L den Wert eins. Die tatsächliche Dichte ρ besitzt die Einheit einer inversen Länge; sie wird bei größerem L entsprechend kleiner.
Ein Elektron in einem 1-nm-Topf
Mit h = 6,626 · 10−34 J·s, mₑ = 9,109 · 10−31 kg und L = 10−9 m folgt:
E₁ ≈ 6,02 · 10−20 J ≈ 0,376 eV
E₂ = 4E₁ ≈ 1,504 eV; E₃ = 9E₁ ≈ 3,384 eV
Die Energien liegen nicht in gleichen Abständen. Für einen Übergang von n = 2 nach n = 1 beträgt die frei werdende Energie:
ΔE = E₂ − E₁ = 3E₁ ≈ 1,128 eV
Wird diese Energie als ein Photon abgegeben, ergibt sich λ = hc/ΔE ≈ 1100 nm, also Infrarot. Die Energiedifferenz bestimmt die Photonenenergie; ob und wie schnell ein Übergang erfolgt, erfordert zusätzlich eine Kopplung und passende Übergangsbedingungen.
Für L = 2 nm wird bei gleicher Quantenzahl jede Energie auf ein Viertel reduziert. Im Grundzustand sind es dann ungefähr 0,094 eV.
Typische Fehler vermeiden
n statt n² verwenden: Der zweite Zustand besitzt die vierfache Grundzustandsenergie.
Die Kurve als Flugbahn ansehen: Sie beschreibt einen Zustand, keine räumlich beobachtete Schlangenlinie.
ρ und ψ gleichsetzen: Quadrieren beseitigt das Vorzeichen und verändert die Form.
Tunneln durch unendliche Wände erwarten: Dafür benötigt man eine endliche Barriere; das ist ein anderes Modell.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · Wie verändert sich En bei Verdopplung von L?
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Die Energie wird auf ein Viertel reduziert.
3 · Wie viele innere Knoten besitzt n = 4?
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Drei.
4 · Kann die Wahrscheinlichkeitsdichte negativ werden?
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Nein. Sie ist das Betragsquadrat der Wellenfunktion.
5 · Warum ist n = 0 hier ausgeschlossen?
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Die Wellenfunktion wäre überall null; die Gesamtwahrscheinlichkeit könnte nicht eins sein.
6 · Wie groß ist E2 − E1 bei E1 = 0,376 eV?
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3 · 0,376 eV = 1,128 eV.
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