1 · Welche Auslenkungsbedingung gilt am geschlossenen Ende?
Lösung ansehen
Ein Auslenkungsknoten.
Physik verstehen und üben · Schall und Wellen
Physik · Sekundarstufe I und II
Stehende Schallwellen in Luftsäulen: verstehen und üben
Welche Töne passen in ein Rohr? Vergleiche zwei offene Enden mit einem einseitig geschlossenen Rohr und erkenne die erlaubten Eigenschwingungen.
Offen–offen: f₁ = c2L
Beim einseitig geschlossenen Rohr ist die Grundfrequenz bei gleicher Länge halb so groß: f₁ = c geteilt durch 4L.
Hinlaufende und reflektierte Wellen überlagern sich
Schall breitet sich in Luft als Längswelle aus: Luftteilchen schwingen parallel zur Ausbreitungsrichtung. In einem Rohr überlagern sich hinlaufende und reflektierte Wellen. Bei geeigneten Frequenzen entsteht ein räumlich festes Muster aus Knoten und Bäuchen.
An einem Auslenkungsknoten bewegen sich die Luftteilchen im idealen Modell nicht. An einem Auslenkungsbauch ist ihre Schwingungsamplitude maximal. Es strömt dabei nicht die gesamte Luft einmal durch das Rohr; die Teilchen bewegen sich um ihre Ruhelagen.
Wir verwenden ein gerades Rohr mit idealen Endbedingungen und c = 343 m·s−1. Endkorrektur, Reibung und Temperaturänderungen werden für die Rechnung vernachlässigt.
Offenes und geschlossenes Ende unterscheiden
Offenes Ende: Die Luft kann sich bewegen. Im idealisierten Modell liegt dort ein Auslenkungsbauch und ein Druckknoten. Druckknoten bedeutet: Die Druckschwankung gegenüber dem Umgebungsdruck ist null; der absolute Luftdruck ist nicht null.
Geschlossenes Ende: Die feste Wand verhindert die Teilchenbewegung in Längsrichtung. Dort liegt ein Auslenkungsknoten und ein Druckbauch.
Druck- und Auslenkungsknoten liegen an unterschiedlichen Orten. Deshalb muss eine Skizze immer angeben, welche Größe sie zeigt. Die Grafik unten zeigt ausschließlich die longitudinale Auslenkung.
Beide Rohrenden offen
L = n · λn2; n = 1, 2, 3, …
λn = 2Ln; fn = n · c2L
An beiden Enden liegen Auslenkungsbäuche. In der Grundschwingung passt eine halbe Wellenlänge in das Rohr. Die erlaubten Frequenzen sind f₁, 2f₁, 3f₁ und so weiter.
Die zweite Eigenschwingung ist die zweite Harmonische und zugleich der erste Oberton. Der Begriff Oberton zählt also anders als die Nummer der Harmonischen.
Ein Ende geschlossen, eines offen
L = (2k − 1) · λk4; k = 1, 2, 3, …
λk = 4L2k − 1; fk = (2k − 1)c4L
Zwischen einem Auslenkungsknoten an der Wand und einem Auslenkungsbauch am offenen Ende liegt in der Grundschwingung eine Viertelwellenlänge. Weitere passende Muster enthalten drei, fünf und weitere ungerade Viertelwellenlängen.
Die erlaubten Frequenzen sind f₁, 3f₁, 5f₁ und so weiter. Die zweite erlaubte Eigenschwingung ist hier die dritte Harmonische. Die geraden Harmonischen fehlen im idealen Rohrmodell.
Rohrenden und Eigenschwingung auswählen
Wähle die Endbedingungen und eine der ersten drei erlaubten Eigenschwingungen. Der Längenregler verändert die Frequenzen. Die Rohrzeichnung bleibt zum Vergleichen gleich breit und zeigt die relative Position im Rohr.
Beide Enden offen, Grundschwingung, L = 1,00 m: λ = 2,00 m und f = 171,5 Hz.
Unterrichtsimpuls mit Erklärung
Wähle L = 1 m und die zweite Eigenschwingung. Offen–offen ergibt 343 Hz; links geschlossen ergibt 257,25 Hz. Suche zuerst die Knoten und Bäuche und begründe dann, warum derselbe Auswahlplatz nicht dieselbe Harmonische bedeutet.
Ein 85,75 cm langes Rohr
Gegeben: L = 0,8575 m und c = 343 m·s−1. Zuerst betrachten wir zwei offene Enden:
f₁ = 3432 · 0,8575 Hz = 200 Hz
Die nächsten beiden Eigenschwingungen liegen bei 400 Hz und 600 Hz. Schließen wir nun ein Ende bei unveränderter Länge:
f₁ = 3434 · 0,8575 Hz = 100 Hz
Die nächsten beiden erlaubten Eigenschwingungen liegen jetzt bei 300 Hz und 500 Hz. Ein Ton bei 200 Hz gehört in diesem idealisierten einseitig geschlossenen Rohr nicht zur Eigenschwingungsreihe.
Eine Verdopplung der Rohrlänge halbiert bei gleichen Endbedingungen sämtliche Eigenfrequenzen. Eine andere Schallgeschwindigkeit verändert die Frequenzen dagegen proportional.
Was weicht bei echten Instrumenten ab?
Am offenen Ende endet die schwingende Luftsäule nicht exakt am geometrischen Rohrrand. Eine Endkorrektur macht die wirksame akustische Länge meist etwas größer. Die einfachen Formeln liefern daher Näherungswerte.
Bohrung, seitliche Öffnungen, Mundstück, Temperatur und Anregung beeinflussen echte Instrumente zusätzlich. Nicht jedes Blasinstrument lässt sich über seinen sichtbaren Abschluss eindeutig einem der beiden einfachen Rohrmodelle zuordnen.
Die Eigenfrequenzen zeigen, welche Schwingungsmuster möglich sind. Wie laut sie tatsächlich angeregt werden, hängt auch von Anregungsort, Anregungsart und Dämpfung ab.
Typische Fehler vermeiden
Offenes Ende als Druckbauch markieren: Es ist idealisiert ein Druckknoten und Auslenkungsbauch.
Die Kurve als Teilchenbahn lesen: Schall in der Luftsäule ist longitudinal.
Bei einem geschlossenen Ende alle ganzzahligen Vielfachen einsetzen: Im Modell sind nur die ungeraden Harmonischen erlaubt.
Zweite Eigenschwingung immer zweite Harmonische nennen: Das stimmt beim einseitig geschlossenen Rohr nicht.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · Welche Druckbedingung gilt am offenen Ende?
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Ein Druckknoten: Die Druckschwankung ist dort im idealen Modell null.
3 · L = 1 m, beide Enden offen: Wie groß ist f₁ bei c = 343 m·s⁻¹?
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171,5 Hz.
4 · Dasselbe Rohr wird einseitig geschlossen. Wie groß ist f₁?
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85,75 Hz.
5 · Welche Frequenz folgt beim einseitig geschlossenen Rohr auf die Grundfrequenz f₁?
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3f₁, die dritte Harmonische beziehungsweise der erste Oberton.
6 · Was passiert mit f₁ bei doppelter Rohrlänge?
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Die Grundfrequenz halbiert sich, sofern Schallgeschwindigkeit und Endbedingungen gleich bleiben.
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