1 · Wie groß ist Ekin in Ruhe?
Lösung ansehen
Null, obwohl E₀ = mc² ungleich null sein kann.
Physik verstehen und üben · Relativitätstheorie
Physik · Sekundarstufe I und II
Relativistische Energie und Impuls: verstehen und üben
Bei hohen Geschwindigkeiten reichen die klassischen Formeln nicht mehr aus. Unterscheide Ruheenergie, Gesamtenergie und kinetische Energie und verknüpfe sie mit dem Impuls.
E² = p²c² + m²c⁴
Energie und Impuls hängen zusammen. Die Masse m bezeichnet hier stets die unveränderliche Ruhemasse.
Drei Energien auseinanderhalten
Ein Teilchen mit Masse besitzt auch in Ruhe eine Energie. Bewegt es sich relativ zu einem gewählten Inertialsystem, kommt kinetische Energie hinzu. Gesamtenergie und Impuls hängen vom Bezugssystem ab; die Ruhemasse m ist invariant.
E₀ = mc²; E = E₀ + Ekin
E₀ heißt Ruheenergie. E bezeichnet hier die Gesamtenergie eines freien Teilchens, einschließlich der Ruheenergie. Mit Ekin meinen wir nur den zusätzlichen Bewegungsanteil. Diese Unterscheidung verhindert die häufigste Verwechslung bei relativistischen Aufgaben.
Lorentzfaktor, Energie und Impuls
β = vc; γ = 1√(1 − β²)
E = γmc²; Ekin = (γ − 1)mc²
p = γmv
p ist hier der Betrag des Impulses. Der Impulsvektor zeigt in Bewegungsrichtung. Für ein Teilchen mit m > 0 gilt v < c. In dieser Darstellung wächst nicht die Masse mit der Geschwindigkeit, sondern Energie und Impuls enthalten den Lorentzfaktor.
E² = p²c² + m²c⁴
Diese Beziehung gilt auch bei v = 0: Dann ist p = 0 und E = mc². Für Photonen gilt m = 0 und E = pc. Die Geschwindigkeitsformel mit γ für massive Teilchen darf dagegen nicht durch Einsetzen von v = c auf Photonen übertragen werden.
Klassische und relativistische Rechnung vergleichen
Bei 0,60c: relativistisch Ekin = 0,25mc²; klassisch Ekin = 0,18mc².
Unterrichtsimpuls
Vergleiche 0,10c, 0,60c und 0,90c. Bei kleinen Geschwindigkeiten liegen beide Kurven dicht beieinander. Bei großen Geschwindigkeiten unterschätzt die klassische Formel die kinetische Energie deutlich.
Ein Elektron bewegt sich mit 0,60c
Für das Elektron beträgt die Ruheenergie näherungsweise 511 keV. Mit β = 0,60 ergibt sich γ = 1,25.
E = 1,25 · 511 keV = 638,75 keV
Ekin = 0,25 · 511 keV = 127,75 keV
pc = γβmc² = 1,25 · 0,60 · 511 keV = 383,25 keV
Damit beträgt der Impuls 383,25 keV/c. Die Einheit keV/c ist eine Impulseinheit, nicht eine Energieeinheit. In SI-Einheiten sind Impulse in kg·m·s−1 angegeben.
Zum Vergleich liefert die klassische Formel nur 0,5 · β² · mc² = 91,98 keV. Bei dieser Geschwindigkeit ist sie keine gute Näherung.
Aus kinetischer Energie die Geschwindigkeit finden
Ist Ekin bekannt, folgt zuerst γ = 1 + Ekin/(mc²). Anschließend kann der Geschwindigkeitsbetrag berechnet werden:
β = √(1 − 1γ²)
Hat ein Elektron eine kinetische Energie gleich seiner Ruheenergie, dann ist γ = 2. Seine Geschwindigkeit beträgt etwa 0,866c. Doppelte Gesamtenergie bedeutet also nicht doppelte Lichtgeschwindigkeit.
Nähert sich v an c, wächst γ ohne Grenze. Ein massives Teilchen kann deshalb durch Zufuhr einer endlichen Energie c nicht erreichen. Für v viel kleiner als c gehen die Formeln in p ≈ mv und Ekin ≈ mv²/2 über.
Typische Fehler vermeiden
mc² für kinetische Energie halten: Es ist die Ruheenergie.
Bei E² = p²c² + m²c⁴ Ekin einsetzen: Die Formel benötigt die Gesamtenergie.
keV und keV/c gleichsetzen: Das eine ist Energie, das andere Impuls.
Das Bezugssystem weglassen: Geschwindigkeit, Impuls und Gesamtenergie gehören zu einem festgelegten System.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · γ = 3: Wie groß ist Ekin in Einheiten von mc²?
Lösung ansehen
2mc².
3 · Welche Energie steht in E² = p²c² + m²c⁴?
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Die Gesamtenergie einschließlich Ruheenergie.
4 · γ = 2 und β ≈ 0,866: Wie groß ist p in Einheiten von mc?
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p ≈ 1,732mc.
5 · Welche Beziehung gilt für ein Photon?
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E = pc bei m = 0.
6 · Kann ein Elektron durch endliche Energiezufuhr c erreichen?
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Nein.
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