Bei hohen Geschwindigkeiten reichen die klassischen Formeln nicht mehr aus. Unterscheide Ruheenergie, Gesamtenergie und kinetische Energie und verknüpfe sie mit dem Impuls.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Ein Teilchen mit Masse besitzt auch in Ruhe eine Energie. Bewegt es sich relativ zu einem gewählten Inertialsystem, kommt kinetische Energie hinzu. Gesamtenergie und Impuls hängen vom Bezugssystem ab; die Ruhemasse m ist invariant.
E₀ = mc²; E = E₀ + Ekin
E₀ heißt Ruheenergie. E bezeichnet hier die Gesamtenergie eines freien Teilchens, einschließlich der Ruheenergie. Mit Ekin meinen wir nur den zusätzlichen Bewegungsanteil. Diese Unterscheidung verhindert die häufigste Verwechslung bei relativistischen Aufgaben.
Die Bewegungsenergie kommt zur Ruheenergie hinzu. Bei γ = 1,25 beträgt die Gesamtenergie das 1,25-Fache der Ruheenergie. Der zusätzliche Anteil ist das 0,25-Fache.
Der Balken ist maßstäblich für die angegebenen Modellwerte. Die Ruhemasse bleibt invariant; Gesamtenergie und kinetische Energie beziehen sich auf das Labor.
Lernschritt 2
β = vc; γ = 1√(1 − β²)
E = γmc²; Ekin = (γ − 1)mc²
p = γmv
p ist hier der Betrag des Impulses. Der Impulsvektor zeigt in Bewegungsrichtung. Für ein Teilchen mit m > 0 gilt v < c. In dieser Darstellung wächst nicht die Masse mit der Geschwindigkeit, sondern Energie und Impuls enthalten den Lorentzfaktor.
E² = p²c² + m²c⁴
Diese Beziehung gilt auch bei v = 0: Dann ist p = 0 und E = mc². Für Photonen gilt m = 0 und E = pc. Die Geschwindigkeitsformel mit γ für massive Teilchen darf dagegen nicht durch Einsetzen von v = c auf Photonen übertragen werden.
Unterscheide Ruheenergie E₀, Gesamtenergie E und kinetische Energie Ekin. Es gilt E = E₀ + Ekin.
Bei gegebener Geschwindigkeit: γ = 1/√(1 − β²). Bei gegebener kinetischer Energie: γ = 1 + Ekin/E₀.
E = γE₀; Ekin = (γ − 1)E₀; pc = γβE₀. Die Energie-Impuls-Beziehung braucht E, nicht Ekin.
keV ist Energie, keV/c ist Impuls. Geschwindigkeit, Energie und Impuls müssen sich auf dasselbe Inertialsystem beziehen.
Alle drei Seiten haben Energieeinheiten. Die Hypotenuse steht für die Gesamtenergie E. Die Katheten stehen für Ruheenergie E₀ und pc. So lässt sich die Beziehung wie der Satz des Pythagoras lesen.
Das ist ein Rechendreieck, keine räumliche Flugbahn. Für ein ruhendes massives Teilchen ist pc = 0; für ein Photon ist E₀ = 0 und E = pc.
Lernschritt 3
Vergleiche 0,10c, 0,60c und 0,90c. Bei kleinen Geschwindigkeiten liegen beide Kurven dicht beieinander. Bei großen Geschwindigkeiten unterschätzt die klassische Formel die kinetische Energie deutlich.
Lernschritt 4
Wir verwenden für das Elektron die gerundete Ruheenergie E₀ = 511 keV. Alle Bewegungsgrößen beziehen sich auf das Labor.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Elektron bewegt sich mit 0,60c. Berechne E und Ekin getrennt.
β = 0,60 · E₀ = 511 keV
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| γ = 1√(1 − 0,60²) = 1,25 |
1Lorentzfaktor berechnen
Bei β = 0,60 ist der Wurzelausdruck 0,80. |
| E = γE₀ = 1,25 · 511 keV = 638,75 keV |
2Gesamtenergie bestimmen
Hier ist die Ruheenergie bereits enthalten. |
| Ekin = E − E₀ = 638,75 keV − 511 keV = 127,75 keV |
3Ruheenergie abziehen
Gleichwertig ist Ekin = (γ − 1)E₀. mc² allein ist keine Bewegungsenergie. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Bestimme den Impuls desselben Elektrons bei 0,60c.
γ = 1,25 · β = 0,60 · E₀ = 511 keV
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| p = γmv pc = γβmc² = γβE₀ |
1Energieeinheiten nutzbar machen
Mit v = βc und Multiplikation mit c lässt sich die gegebene Ruheenergie einsetzen. |
| pc = 1,25 · 0,60 · 511 keV = 383,25 keV |
2Produkt pc berechnen
pc besitzt die Einheit einer Energie; p allein noch nicht. |
| p = 383,25 keV/c ≈ 383 keV/c |
3Durch c teilen
Die Schreibweise keV/c ist eine Impulseinheit. In SI wäre die Einheit kg·m/s. |
Lernschritt 5
Ist die kinetische Energie bekannt, berechnest du zuerst den Lorentzfaktor. Erst danach folgt die Geschwindigkeit.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Elektron erhält 511 keV kinetische Energie. Wie schnell ist es im Labor?
Ekin = 511 keV · E₀ = 511 keV
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| γ = 1 + 511 keV511 keV = 2 |
1Lorentzfaktor bestimmen
Die Gesamtenergie ist jetzt 2E₀. Würdest du γ = Ekin/E₀ setzen, fehlte die Ruheenergie. |
| β = √(1 − 1/2²) = √0,75 ≈ 0,866 |
2Nach der Geschwindigkeit auflösen
γ² = 4. Ziehe erst 1/4 von 1 ab. |
| v = βc ≈ 0,866c |
3Grenze prüfen
Der Wert bleibt unter c. Doppelte Ruheenergie als Gesamtenergie bedeutet nicht doppelte Lichtgeschwindigkeit. |
Für v → c wächst γ ohne Grenze. Ein massives Teilchen erreicht c deshalb nicht durch Zufuhr einer endlichen Energie. Für v ≪ c gehen die Formeln in p ≈ mv und Ekin ≈ mv²/2 über.
Lernschritt 6
mc² für kinetische Energie halten: Es ist die Ruheenergie.
Bei E² = p²c² + m²c⁴ Ekin einsetzen: Die Formel benötigt die Gesamtenergie.
keV und keV/c gleichsetzen: Das eine ist Energie, das andere Impuls.
Das Bezugssystem weglassen: Geschwindigkeit, Impuls und Gesamtenergie gehören zu einem festgelegten System.
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Physikhelfer
Berechne Ruheenergie, Gesamtenergie, Bewegungsenergie oder Impuls für Teilchen mit positiver Ruhemasse. Geschwindigkeiten ab c sind ausgeschlossen; Richtungen und vollständige Stoßvorgänge werden nicht verrechnet. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
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Null, obwohl E₀ = mc² ungleich null sein kann.
2mc².
Die Gesamtenergie einschließlich Ruheenergie.
p ≈ 1,732mc.
E = pc bei m = 0.
Nein.
Fachlicher Abgleich der Grundlagen: OpenStax · University Physics.
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