Wann erkennt man zwei nahe Lichtpunkte noch getrennt? Untersuche die Beugungsgrenze einer kreisförmigen Öffnung und den Unterschied zwischen Auflösung und Vergrößerung.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Auch eine ideale Linse mit endlicher Öffnung bildet eine weit entfernte punktförmige Lichtquelle nicht als mathematischen Punkt ab. Durch Beugung entsteht ein helles Zentralmaximum mit schwächeren Ringen, das Airy-Muster.
Bei zwei nahe beieinanderliegenden Quellen überlagern sich ihre Beugungsbilder. Ob sie noch als getrennte Punkte erkennbar sind, hängt unter anderem von ihrem Winkelabstand und der Breite dieser Bilder ab.
Wir betrachten zwei gleich helle, voneinander inkohärente Punktquellen, monochromatisches Licht und eine ideale, gleichmäßig ausgeleuchtete kreisförmige Öffnung ohne zentrale Abschattung. Abbildungsfehler, Luftunruhe und Detektorrauschen werden zunächst vernachlässigt.
Ein Punkt erzeugt einen hellen Kern mit Ringen
Berechnete Intensitätsverteilung im idealen Modell, keine Fotografie. Die schwachen Ringe werden durch eine nichtlineare Graudarstellung aufgehellt, damit du sie erkennen kannst.
Die türkisfarbene Strecke reicht vom Zentrum bis zum ersten dunklen Ring. Ihr Winkelradius ist θR. Der Durchmesser des zentralen Bereichs ist doppelt so groß.
Das Muster setzt eine gleichmäßig beleuchtete Kreisöffnung voraus. Die Kreise in der anschließenden Simulation sind vereinfachte Orientierungshilfen für genau diesen Radius.
Lernschritt 2
θR ≈ 1,22 · λD
λ ist die Wellenlänge, D der Öffnungsdurchmesser. Beide müssen in derselben Längeneinheit eingesetzt werden. Der kleine Winkel θR ergibt sich in Radiant.
Nach Rayleigh gelten zwei gleich helle Punkte als gerade aufgelöst, wenn das Zentrum des einen Beugungsbildes auf dem ersten Minimum des anderen liegt. Der Abstand entspricht damit dem Radius bis zum ersten Minimum – nicht dessen Durchmesser.
Das ist ein gebräuchliches Kriterium, keine harte Grenze für jede denkbare Messmethode. Ungleiche Helligkeiten, Bildverarbeitung und Signalqualität beeinflussen, welche Informationen tatsächlich gewonnen werden können.
D ist der Durchmesser einer kreisförmigen Öffnung. Das Kriterium gilt hier für zwei gleich helle, inkohärente Punktquellen.
Rechne λ und D in dieselbe Einheit um und verwende θR ≈ 1,22λ/D. Der Zahlenwert des Winkels ist in Radiant.
Δθ ≥ θR: Kriterium erfüllt. Δθ < θR: Kriterium nicht erfüllt. Ein kleinerer Grenzwinkel bedeutet eine bessere Auflösung.
Für den kleinsten nötigen Durchmesser: D ≥ 1,22λ/Δθ. Bei kleinen Winkeln und Entfernung L: seitlicher Abstand s ≈ LΔθ.
Gerade nach Rayleigh aufgelöst
A und B markieren die Bildzentren. Ihr Abstand beträgt genau θR. Das Maximum jedes gestrichelten Einzelprofils liegt beim ersten Minimum des anderen. Die dunkle durchgezogene Kurve ist die Summe beider Intensitäten; zwischen den Spitzen bleibt eine sichtbare Senke.
Berechneter Schnitt für zwei gleich helle, inkohärente Punktquellen; lineare Intensitätsskala relativ zum Maximum einer einzelnen Quelle. Die Kurven zeigen Helligkeit, keine Wellenberge oder Lichtwege.
Die Grafik lässt sich seitlich verschieben, damit die Beschriftung lesbar bleibt.
Lernschritt 3
Die Kreise zeigen die Lage des ersten Minimums und haben keine scharfe optische Bildkante. Die gleichmäßige Füllung dient nur der Orientierung; ein echtes Airy-Muster ist in der Mitte heller und besitzt weitere Ringe.
Stelle λ = 550 nm und Δθ = 10 µrad ein. Vergleiche D = 50 mm und D = 100 mm. Die Beugungsbilder werden bei doppeltem Durchmesser halb so breit. Die Quelle wird dadurch nicht weiter auseinandergerückt; das optische System kann den Abstand besser unterscheiden.
Lernschritt 4
Beispiel · Schritt für Schritt
Bestimme den Grenzwinkel und den entsprechenden Punktabstand in 1 km Entfernung.
D = 0,10 m · λ = 550 nm · L = 1000 m
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| λ = 5,50 · 10−7 m |
1Einheiten vorbereiten
D und λ stehen beide in Meter. Ihr Verhältnis ist einheitenlos; der Winkel wird in rad angegeben. |
| θR ≈ 1,22 · (5,50 · 10−7 / 0,10) rad ≈ 6,71 · 10−6 rad |
2Rayleigh-Grenze berechnen
Die Formel verwendet den Öffnungsdurchmesser, nicht den Radius. |
| θR ≈ 6,71 µrad ≈ 1,38″ |
3Winkel verständlich angeben
1 rad = 10⁶ µrad; 1 rad ≈ 206265 Bogensekunden. Das Zeichen ″ bedeutet hier Bogensekunden. |
| sR ≈ LθR ≈ 1000 · 6,71 · 10−6 m ≈ 6,71 mm |
4Winkel in einen Abstand übersetzen
Setze den Winkel in Radiant ein. Die beiden Punkte liegen ungefähr in derselben Entfernung. |
| s = 10 mm → Δθ ≈ 10 µrad 10 µrad > 6,71 µrad |
5Eine konkrete Trennung beurteilen
Zwei 10 mm auseinanderliegende Punkte erfüllen bei 1 km Entfernung im Modell das Kriterium. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Welche Öffnung benötigt ein ideales Teleskop mindestens für 5 µrad Winkelabstand?
λ = 550 nm · Δθ = 5 µrad
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| θR ≤ Δθ 1,22λ/D ≤ Δθ |
1Bedingung aufschreiben
Der Grenzwinkel des Instruments darf nicht größer sein als der tatsächliche Abstand der Quellen. |
| D ≥ 1,22λ/Δθ |
2Nach D umstellen
Eine größere Öffnung verkleinert den Grenzwinkel. |
| D ≥ (1,22 · 5,50 · 10−7) / (5 · 10−6) m D ≥ 0,1342 m |
3Einsetzen und berechnen
µrad werden in rad umgerechnet. Das Ergebnis ist ein Durchmesser in Meter. |
| D ≥ 13,42 cm Beispielwahl: 15 cm |
4Ergebnis prüfen
Eine 10-cm-Öffnung reicht im Modell nicht. 15 cm ergeben θR ≈ 4,47 µrad und erfüllen die Forderung. |
Lernschritt 5
Vergrößerung macht ein vorhandenes Bild größer. Sind zwei Quellen im aufgenommenen Bild bereits zu einem ununterscheidbaren Fleck geworden, bringt bloßes Vergrößern nicht automatisch neue Information zurück.
Eine größere Öffnung kann dagegen die Beugungsgrenze verbessern. Sie kann außerdem mehr Licht sammeln. Die Auflösung hängt dennoch auch von Fokus, Abbildungsfehlern, Luftunruhe, Pixelgröße und Signalqualität ab.
Bei Mikroskopen wird die Auflösung häufig über die numerische Apertur beschrieben. Die einfache Fernfeld-Winkelformel für D darf nicht ohne Prüfung auf jedes Mikroskop- und Beleuchtungsmodell übertragen werden.
Lernschritt 6
Doppelter Durchmesser halbiert θR. Doppelte Wellenlänge verdoppelt θR. Ein kleinerer Grenzwinkel bedeutet besseres Winkelauflösungsvermögen.
Eine kürzere Brennweite allein ändert bei festem D die Winkelgrenze dieser Formel nicht. Sie verändert aber die Größe des Beugungsbildes in der Bildebene: Dessen Radius bis zum ersten Minimum ist näherungsweise 1,22λf/D.
Beim Rayleigh-Abstand liegt ein Bildzentrum auf dem ersten Minimum des anderen. Die äußeren Ringe verschwinden dabei nicht. Ein Schema mit vollständig getrennten Kreisen wäre deshalb eine strengere Forderung als das eigentliche Kriterium.
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne den Radius bis zum ersten Minimum für eine punktförmige Quelle im Unendlichen.
λ = 550 nm · D = 0,10 m · f = 1,0 m
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| r ≈ fθR ≈ 1,22λf/D |
1Winkel auf die Bildebene übertragen
Für kleine Winkel gilt in der Brennebene r ≈ fθ. Gesucht ist der Radius, nicht der Durchmesser. |
| r ≈ 1,22 · 5,50 · 10−7 · 1,0 / 0,10 m ≈ 6,71 µm |
2Einsetzen
Der Durchmesser bis zum ersten Minimum beträgt somit etwa 13,42 µm. |
| f verdoppelt → r verdoppelt θR bleibt bei festem D gleich |
3Bildgröße und Auflösung trennen
Eine längere Brennweite vergrößert das Beugungsbild ebenso wie den Abstand zweier Bildzentren. Sie verbessert allein nicht die Winkelauflösung. |
Lernschritt 7
D für den Radius halten: D ist der Durchmesser.
Radiant als Grad lesen: Die Formel liefert einen Winkel in rad.
Berührung der Kreisränder fordern: Rayleigh vergleicht Zentrum und erstes Minimum.
Größeren Grenzwinkel für bessere Auflösung halten: Besser ist ein kleinerer trennbarer Winkel.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
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Bearbeite drei weitere Aufgaben ohne Nachschlagen. Nutze die Rückmeldung, um gezielt weiterzulernen.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Bestimme die ideale Winkelauflösung einer Kreisöffnung nach dem Rayleigh-Kriterium. Der Rechner nutzt die Näherung für kleine Winkel. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
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Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
θR halbiert sich.
Der Grenzwinkel verdoppelt sich; die Auflösung wird schlechter.
Ja, der Abstand ist größer als der Grenzwinkel.
Nein. Der Zentrumabstand muss mindestens dem Radius bis zum ersten Minimum entsprechen.
Radiant; das Längenverhältnis ist dimensionslos.
Nein. Sie vergrößert zunächst das vorhandene Bild.
Fachlicher Abgleich der Grundlagen: OpenStax · University Physics.
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