1 · D wird verdoppelt, λ bleibt gleich. Wie ändert sich θR?
Lösung ansehen
θR halbiert sich.
Physik verstehen und üben · Wellenoptik
Physik · Sekundarstufe I und II
Optisches Auflösungsvermögen: verstehen und üben
Wann erkennt man zwei nahe Lichtpunkte noch getrennt? Untersuche die Beugungsgrenze einer kreisförmigen Öffnung und den Unterschied zwischen Auflösung und Vergrößerung.
θR ≈ 1,22 · λD
Eine größere Öffnung oder eine kürzere Wellenlänge verkleinert den gerade noch trennbaren Winkelabstand.
Ein Lichtpunkt wird zum Beugungsbild
Auch eine ideale Linse mit endlicher Öffnung bildet eine weit entfernte punktförmige Lichtquelle nicht als mathematischen Punkt ab. Durch Beugung entsteht ein helles Zentralmaximum mit schwächeren Ringen, das Airy-Muster.
Bei zwei nahe beieinanderliegenden Quellen überlagern sich ihre Beugungsbilder. Ob sie noch als getrennte Punkte erkennbar sind, hängt unter anderem von ihrem Winkelabstand und der Breite dieser Bilder ab.
Wir betrachten zwei gleich helle, voneinander inkohärente Punktquellen, monochromatisches Licht und eine ideale, gleichmäßig ausgeleuchtete kreisförmige Öffnung ohne zentrale Abschattung. Abbildungsfehler, Luftunruhe und Detektorrauschen werden zunächst vernachlässigt.
Das Rayleigh-Kriterium
θR ≈ 1,22 · λD
λ ist die Wellenlänge, D der Öffnungsdurchmesser. Beide müssen in derselben Längeneinheit eingesetzt werden. Der kleine Winkel θR ergibt sich in Radiant.
Nach Rayleigh gelten zwei gleich helle Punkte als gerade aufgelöst, wenn das Zentrum des einen Beugungsbildes auf dem ersten Minimum des anderen liegt. Der Abstand entspricht damit dem Radius bis zum ersten Minimum – nicht dessen Durchmesser.
Das ist ein gebräuchliches Kriterium, keine harte Grenze für jede denkbare Messmethode. Ungleiche Helligkeiten, Bildverarbeitung und Signalqualität beeinflussen, welche Informationen tatsächlich gewonnen werden können.
Öffnung, Wellenlänge und Abstand verändern
Die Kreise zeigen die Lage des ersten Minimums und haben keine scharfe optische Bildkante. Die gleichmäßige Füllung dient nur der Orientierung; ein echtes Airy-Muster ist in der Mitte heller und besitzt weitere Ringe.
D = 100 mm und λ = 550 nm: θR = 6,71 µrad. 10 µrad Abstand erfüllen das Rayleigh-Kriterium.
Unterrichtsimpuls mit Erklärung
Stelle λ = 550 nm und Δθ = 10 µrad ein. Vergleiche D = 50 mm und D = 100 mm. Die Beugungsbilder werden bei doppeltem Durchmesser halb so breit. Die Quelle wird dadurch nicht weiter auseinandergerückt; das optische System kann den Abstand besser unterscheiden.
Ein Teleskop mit 10 cm Öffnung
Gegeben: D = 0,10 m und λ = 550 nm = 5,50 · 10−7 m.
θR ≈ 1,22 · 5,50 · 10−7 m0,10 m = 6,71 · 10−6 rad
Das sind 6,71 µrad oder etwa 1,38 Bogensekunden. Die Umrechnung verwendet 1 rad ≈ 206265 Bogensekunden.
Für zwei gleich weit entfernte Punkte mit kleinem Winkelabstand und Entfernung L gilt näherungsweise s ≈ Lθ. Bei L = 1000 m ergibt sich:
sR ≈ 1000 m · 6,71 · 10−6 = 0,00671 m = 6,71 mm
Dies ist der beugungsbegrenzte Modellwert. In einem echten Aufbau können andere Einflüsse die praktische Auflösung verschlechtern.
Mehr Vergrößerung bedeutet nicht automatisch mehr Details
Vergrößerung macht ein vorhandenes Bild größer. Sind zwei Quellen im aufgenommenen Bild bereits zu einem ununterscheidbaren Fleck geworden, bringt bloßes Vergrößern nicht automatisch neue Information zurück.
Eine größere Öffnung kann dagegen die Beugungsgrenze verbessern. Sie kann außerdem mehr Licht sammeln. Die Auflösung hängt dennoch auch von Fokus, Abbildungsfehlern, Luftunruhe, Pixelgröße und Signalqualität ab.
Bei Mikroskopen wird die Auflösung häufig über die numerische Apertur beschrieben. Die einfache Fernfeld-Winkelformel für D darf nicht ohne Prüfung auf jedes Mikroskop- und Beleuchtungsmodell übertragen werden.
Welche Änderung hilft im Modell?
Doppelter Durchmesser halbiert θR. Doppelte Wellenlänge verdoppelt θR. Ein kleinerer Grenzwinkel bedeutet besseres Winkelauflösungsvermögen.
Eine kürzere Brennweite allein ändert bei festem D die Winkelgrenze dieser Formel nicht. Sie verändert aber die Größe des Beugungsbildes in der Bildebene: Dessen Radius bis zum ersten Minimum ist näherungsweise 1,22λf/D.
Beim Rayleigh-Abstand liegt ein Bildzentrum auf dem ersten Minimum des anderen. Die äußeren Ringe verschwinden dabei nicht. Ein Schema mit vollständig getrennten Kreisen wäre deshalb eine strengere Forderung als das eigentliche Kriterium.
Typische Fehler vermeiden
D für den Radius halten: D ist der Durchmesser.
Radiant als Grad lesen: Die Formel liefert einen Winkel in rad.
Berührung der Kreisränder fordern: Rayleigh vergleicht Zentrum und erstes Minimum.
Größeren Grenzwinkel für bessere Auflösung halten: Besser ist ein kleinerer trennbarer Winkel.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · λ wird verdoppelt, D bleibt gleich. Was passiert?
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Der Grenzwinkel verdoppelt sich; die Auflösung wird schlechter.
3 · θR = 8 µrad und Δθ = 12 µrad: Ist das Rayleigh-Kriterium erfüllt?
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Ja, der Abstand ist größer als der Grenzwinkel.
4 · Müssen sich die dargestellten Kreise für Rayleigh vollständig trennen?
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Nein. Der Zentrumabstand muss mindestens dem Radius bis zum ersten Minimum entsprechen.
5 · Welche Einheit ergibt λ/D für den kleinen Winkel in dieser Formel?
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Radiant; das Längenverhältnis ist dimensionslos.
6 · Kann bloße digitale Vergrößerung immer neue optische Details schaffen?
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Nein. Sie vergrößert zunächst das vorhandene Bild.
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Als Grundlage: Beugung am Einzelspalt. Die kreisförmige Öffnung auf dieser Seite besitzt ein anderes Beugungsmuster; der Faktor 1,22 gehört nicht zur Einzelspaltformel.
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