Messunsicherheit: verstehen und üben

Ein Messwert ist eine begründete Schätzung

Du misst die Länge desselben Gegenstands mehrfach. Die Ergebnisse unterscheiden sich etwas, etwa durch das Anlegen, Ablesen oder die begrenzte Auflösung des Geräts. Auch wenn alle Werte gleich aussehen, können weitere Einflüsse bestehen: Ein verschobener Nullpunkt fällt bei einer Wiederholung möglicherweise gar nicht auf.

Messunsicherheit beschreibt den Zweifel, der dem angegebenen Größenwert aufgrund der verfügbaren Informationen zugeordnet wird. Sie ist nicht dasselbe wie eine bekannte Abweichung von einem Referenzwert. Ein bekannter Nullpunktfehler wird soweit möglich korrigiert; die Unsicherheit dieser Korrektur bleibt Teil der Bewertung.

Zuerst muss klar sein, was gemessen wird. Bei einer Länge gehören etwa die Endpunkte und gegebenenfalls die Temperatur dazu. Eine unklare Definition der Messgröße lässt sich nicht durch zusätzliche Nachkommastellen beheben.

Streuung und systematische Einflüsse unterscheiden

Zufällige Schwankungen

Die Messwerte liegen bei Wiederholungen etwas höher oder niedriger. Unter passenden Bedingungen kann ihr Mittelwert stabiler sein als eine einzelne Messung. Eine größere Anzahl unabhängiger Messungen hilft dann, den durch diese Schwankungen verursachten Unsicherheitsanteil des Mittelwerts zu verkleinern.

Systematische Einflüsse

Ein falsch eingestellter Nullpunkt kann alle Werte ähnlich verschieben. Viele Wiederholungen beseitigen diese Verschiebung nicht. Eine Prüfung an einer Referenz, eine Kalibrierung oder eine verbesserte Messmethode kann den Einfluss erkennen und gegebenenfalls korrigieren.

Präzision beschreibt die Nähe wiederholter Werte zueinander unter festgelegten Bedingungen. Hohe Präzision allein beweist noch keine Nähe zu einem geeigneten Referenzwert. Außerdem sind Auswertungsmethode A und B keine Synonyme für zufällig und systematisch: Typ A nutzt statistische Auswertung, Typ B andere Informationen, etwa Kalibrierscheine oder Gerätespezifikationen.

Streuung und gemeinsame Verschiebung getrennt verändern

Die blauen Punkte sind zehn bewusst konstruierte Beispielwerte, keine neu ausgelosten Messungen. Die gestrichelte Linie markiert einen hier als exakt vorgegebenen Referenzwert. Die orange Linie ist der Mittelwert. Der Streuregler verändert die Abstände der Punkte zueinander; der zweite Regler verschiebt alle Punkte gleich weit.

Mittelwert und Streuung haben verschiedene Aufgaben

x̄ = x₁ + x₂ + … + x_NN

Der Mittelwert x̄ fasst die N Wiederholungen zusammen. Die Stichproben-Standardabweichung s beschreibt, wie stark die einzelnen Messwerte um diesen Mittelwert streuen:

s = √(Σ(x_i − x̄)²N − 1)

Σ bedeutet: die quadrierten Abweichungen aller Werte addieren. Für unabhängige Wiederholungen derselben stabilen Messgröße schätzt man den statistischen Standardunsicherheitsanteil des Mittelwerts mit:

u_A(x̄) = s√N

s und uA sind nicht austauschbar. s beschreibt die Einzelwertstreuung; s/√N beschreibt den daraus geschätzten Unsicherheitsanteil des Mittelwerts. Viermal so viele unabhängige Messungen halbieren bei vergleichbarer Streuung diesen Anteil. Ein gemeinsamer unbekannter Nullpunktversatz verschwindet dadurch nicht.

Fünf Längenmessungen auswerten

Die Messwerte lauten 10,02 cm; 9,98 cm; 10,01 cm; 9,99 cm und 10,00 cm. Die Summe beträgt 50,00 cm.

x̄ = 50,00 cm5 = 10,00 cm

Die Abweichungen vom Mittelwert sind +0,02; −0,02; +0,01; −0,01 und 0,00 cm. Quadriert und addiert ergibt das 0,0010 cm². Die Vorzeichen verschwinden beim Quadrieren, sodass sich Schwankungen nicht gegenseitig aufheben.

s = √(0,0010 cm²4) ≈ 0,0158 cm

u_A(x̄) = 0,0158 cm√5 ≈ 0,0071 cm

Diese 0,0071 cm enthalten nur den statistischen Anteil aus den Wiederholungen. Für eine vollständige Angabe fehlen gegebenenfalls Beiträge des Messgeräts, der Referenz oder der Messmethode. Nimm für dieses Beispiel einen davon unabhängigen zusätzlichen Standardunsicherheitsbeitrag uB = 0,010 cm an.

u_c = √(u_A² + u_B²) ≈ 0,0122 cm

Die quadratische Kombination gilt hier für unkorrelierte Beiträge mit passenden Empfindlichkeitsfaktoren von 1. Nach Rundung kann das Ergebnis als x = 10,000 cm mit kombinierter Standardunsicherheit uc = 0,012 cm angegeben werden. Die zusätzliche Null legt die Dezimalstelle passend zur Unsicherheit fest; sie behauptet keine Auflösung des Geräts von 0,001 cm.

Was „±“ aussagt – und was nicht

Eine Standardunsicherheit u ist eine Unsicherheit in Form einer Standardabweichung. Eine erweiterte Unsicherheit U wird dagegen mit einem angegebenen Erweiterungsfaktor k gebildet: U = k · uc. Eine einfache geschätzte Fehlergrenze im Schulversuch ist wiederum eine andere Art von Angabe.

Beim Beispiel wäre für k = 2 die erweiterte Unsicherheit U ≈ 0,024 cm. Dann kann man x = (10,000 ± 0,024) cm schreiben und ergänzen: „erweiterte Unsicherheit, k = 2“. Das Zeichen ± allein verrät diese Bedeutung nicht.

k = 2 entspricht unter geeigneten Verteilungsannahmen und ausreichend gesicherter Unsicherheitsschätzung häufig ungefähr 95 % Überdeckungswahrscheinlichkeit. Das ist keine allgemeine Garantie. Insbesondere bei wenigen Messungen darf eine solche Wahrscheinlichkeit nicht ungeprüft aus dem Faktor abgeleitet werden.

Relative Unsicherheit = u|x| · 100 %

Für uc = 0,012 cm und x = 10,000 cm beträgt die relative Standardunsicherheit ungefähr 0,12 %. Die relative Angabe ist nur für einen von null verschiedenen Bezugswert sinnvoll. Sie macht Unsicherheiten bei unterschiedlichen Größenordnungen besser vergleichbar.

Auflösung, Rundung und ein gutes Messprotokoll

Die kleinste angezeigte Stelle eines Digitalgeräts ist seine Auflösung, nicht automatisch seine gesamte Messunsicherheit. Ebenso ist „halber Skalenstrich“ bei einem analogen Gerät nur eine mögliche vereinfachte Abschätzung unter bestimmten Ablesebedingungen. Gerätespezifikation, Messbereich, Nullpunkt und Methode gehören zur Bewertung.

Runde erst am Ende und behalte in Zwischenrechnungen zusätzliche Stellen. Unsicherheiten werden häufig mit ein oder zwei signifikanten Ziffern angegeben; den Messwert rundet man auf dieselbe Dezimalstelle. Richte dich bei Schulaufgaben nach der ausdrücklich geforderten Konvention.

Notiere Messgröße und Einheit, Aufbau und Gerät, Rohwerte, Auswertung, berücksichtigte Unsicherheitsquellen und die Bedeutung der endgültigen Angabe. Entferne einen auffälligen Messwert nicht allein deshalb, weil er nicht passt: Prüfe zuerst, ob ein belegbarer Mess- oder Übertragungsfehler vorliegt.

Typische Fehler vermeiden

Viele gleiche Werte für sicher richtig halten: Ein gemeinsamer Versatz bleibt möglich.

s und s/√N verwechseln: Einzelwertstreuung und Unsicherheit des Mittelwerts beantworten unterschiedliche Fragen.

Jede Unsicherheit durch √N teilen: Gemeinsame Beiträge werden durch Wiederholung nicht automatisch kleiner.

± ohne Erklärung schreiben: Benenne Standardunsicherheit, erweiterte Unsicherheit oder verwendete Fehlergrenze.

Zu früh runden: Das kann das Endergebnis unnötig verändern.

Sechs Aufgaben zum Selbstcheck

Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.

Direkt mit Messwerten üben

Nutze die fünf vollständig durchgerechneten Werte und die sechs Selbstchecks dieser Seite. Ein eigenes kostenloses Arbeitsblatt speziell zur Messunsicherheit wurde im Shop nicht gefunden. Für den Unterricht eignet sich zusätzlich eine eigene Wiederholungsmessung mit dokumentiertem Gerät.

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