1 · Welche Länge misst man im Ruhesystem des Körpers?
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Die Eigenlänge L₀.
Physik verstehen und üben · Relativitätstheorie
Physik · Sekundarstufe I und II
Längenkontraktion: verstehen und üben
Ein bewegter Körper wird in Bewegungsrichtung kürzer gemessen als in seinem Ruhesystem. Entscheidend ist, wann und in welchem Bezugssystem seine Enden erfasst werden.
L = L₀γ
Die Eigenlänge L₀ wird im Ruhesystem des Körpers gemessen. Im relativ dazu bewegten System gilt für die parallele Länge L ≤ L₀.
Längenmessung braucht eine Zeitangabe
Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem ein kräftefreier Körper ruht oder sich geradlinig gleichförmig bewegt. Die spezielle Relativitätstheorie beruht auf zwei Aussagen: Die physikalischen Gesetze gelten in allen Inertialsystemen gleich, und Licht hat im Vakuum in jedem dieser Systeme dieselbe Geschwindigkeit c.
Es gibt kein ausgezeichnetes absolutes Ruhesystem. Wir nennen eines der Systeme im Beispiel „Labor“. Das ist eine praktische Wahl, keine besondere Stellung dieses Systems. Gravitation und Beschleunigungsphasen lassen wir hier außen vor.
Ein Stab liegt parallel zur Bewegungsrichtung. Seine Enden bewegen sich im Labor. Um seine Länge zu bestimmen, muss das Labor die Position beider Enden gleichzeitig erfassen. Misst es das hintere Ende erst später, hat sich der Stab inzwischen weiterbewegt.
„Gleichzeitig“ meint hier gleichzeitig nach den synchronisierten Uhren des Labors. Zwei räumlich getrennte Ereignisse, die im Labor gleichzeitig sind, sind im Stab-Ruhesystem im Allgemeinen nicht gleichzeitig.
Eigenlänge und bewegte Länge
Eigenlänge L₀: Länge des Körpers in seinem eigenen Ruhesystem, in dem seine Enden feste Positionen besitzen.
Länge L im Labor: Differenz der gleichzeitig im Labor gemessenen Endpositionen des bewegten Körpers.
Der Körper wird dabei nicht wie eine Feder mechanisch zusammengedrückt. Die unterschiedlichen Messwerte gehören zu unterschiedlichen Bezugssystemen und deren Gleichzeitigkeit. Es handelt sich auch nicht einfach um das Aussehen auf einem Foto; Lichtlaufzeiten beeinflussen optische Bilder zusätzlich.
Nur die Richtung parallel zur Bewegung
γ = 1√(1 − β²); β = vc
L = L₀γ = L₀ · √(1 − β²)
Die Formel gilt für die Längenkomponente parallel zur Relativbewegung. Senkrechte Abmessungen bleiben bei diesem Vergleich unverändert. Bei einem schräg orientierten Körper müssen die parallele und die senkrechte Komponente getrennt betrachtet werden.
Für v = 0 gilt L = L₀. Für 0 < v < c ist die parallel gemessene Länge kleiner. Die Eigenlänge ist daher die größte Länge in diesem Vergleich. Ein materieller Körper erreicht im Modell kein v = c.
Ein Stab mit 100 m Eigenlänge
Bei v = 0,60c misst das Labor L = 80,00 m. Im Stab-Ruhesystem bleibt L₀ = 100 m.
Unterrichtsimpuls
Stelle v = 0,80c ein. Im Labor beträgt die Länge 60 m. Welche Länge misst eine mit dem Stab mitbewegte Person? Weiterhin 100 m. Frage anschließend nach der Höhe des Stabes: Eine zur Bewegung senkrechte Höhe wird nicht kontrahiert.
Ein Raumschiff mit 150 m Eigenlänge
Das Raumschiff bewegt sich parallel zu seiner Längsachse mit 0,80c relativ zum Labor. Es wird idealisiert als gleichförmig bewegter Körper betrachtet.
√(1 − 0,80²) = 0,60
L = 150 m · 0,60 = 90 m
Die Besatzung misst im eigenen Ruhesystem weiterhin 150 m. Das Labor erhält 90 m, wenn es Bug und Heck gleichzeitig nach seiner Zeitkoordinate lokalisiert. Eine quer zur Bewegung liegende Breite von 20 m bleibt 20 m.
Umgekehrt: Wenn L₀ = 100 m und L = 80 m gegeben sind, gilt:
β = √[1 − (LL₀)²] = √(1 − 0,80²) = 0,60
Damit ist der Geschwindigkeitsbetrag v = 0,60c. Aus dem Längenverhältnis allein folgt keine Bewegungsrichtung.
Warum dieselben Messereignisse nicht genügen
Markiert das Labor beide Endpositionen gleichzeitig, gehören dazu zwei Ereignisse an verschiedenen Orten. Im Stab-Ruhesystem liegen diese beiden Ereignisse im Allgemeinen zu verschiedenen Zeiten. Für eine dortige gleichzeitige Längenmessung wird deshalb ein anderes Ereignispaar verwendet.
Das ist der Grund, warum unterschiedliche Längenmessungen zusammenpassen. Wer nur die Ortsangaben umrechnet und die Zeitangaben ignoriert, vergleicht unterschiedliche Messvorschriften.
Die Zeitdilatation und die Längenkontraktion gehören zur selben Theorie. Bei Zeitdilatation sucht man zwei Ereignisse an einer mitbewegten Uhr; bei Längenkontraktion sind gleichzeitige Ereignisse an zwei Enden entscheidend.
Typische Fehler vermeiden
Mit γ multiplizieren: Für die bewegte parallele Länge wird L₀ durch γ geteilt.
Alle Richtungen verkürzen: Senkrechte Komponenten bleiben unverändert.
Enden zu verschiedenen Laborzeiten messen: So erhält man nicht die gesuchte Laborlänge.
Ein Foto mit einer Koordinatenmessung gleichsetzen: Licht von verschiedenen Stellen kann unterschiedlich lange unterwegs sein.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · L₀ = 120 m und γ = 2. Wie groß ist L?
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60 m.
3 · Was gilt bei v = 0?
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L = L₀.
4 · Wird eine senkrecht zur Bewegung liegende Höhe kontrahiert?
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Nein, nicht durch diese Längenkontraktion.
5 · Wann müssen die Endpositionen im Labor bestimmt werden?
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Gleichzeitig nach den synchronisierten Laboruhren.
6 · L = 0,60L₀: Wie groß ist der Geschwindigkeitsbetrag?
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v = 0,80c.
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