Ein bewegter Körper wird in Bewegungsrichtung kürzer gemessen als in seinem Ruhesystem. Entscheidend ist, wann und in welchem Bezugssystem seine Enden erfasst werden.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem ein kräftefreier Körper ruht oder sich geradlinig gleichförmig bewegt. Die spezielle Relativitätstheorie beruht auf zwei Aussagen: Die physikalischen Gesetze gelten in allen Inertialsystemen gleich, und Licht hat im Vakuum in jedem dieser Systeme dieselbe Geschwindigkeit c.
Es gibt kein ausgezeichnetes absolutes Ruhesystem. Wir nennen eines der Systeme im Beispiel „Labor“. Das ist eine praktische Wahl, keine besondere Stellung dieses Systems. Gravitation und Beschleunigungsphasen lassen wir hier außen vor.
Ein Stab liegt parallel zur Bewegungsrichtung. Seine Enden bewegen sich im Labor. Um seine Länge zu bestimmen, muss das Labor die Position beider Enden gleichzeitig erfassen. Misst es das hintere Ende erst später, hat sich der Stab inzwischen weiterbewegt.
„Gleichzeitig“ meint hier gleichzeitig nach den synchronisierten Uhren des Labors. Zwei räumlich getrennte Ereignisse, die im Labor gleichzeitig sind, sind im Stab-Ruhesystem im Allgemeinen nicht gleichzeitig.
Lernschritt 2
Eigenlänge L₀: Länge des Körpers in seinem eigenen Ruhesystem, in dem seine Enden feste Positionen besitzen.
Länge L im Labor: Differenz der gleichzeitig im Labor gemessenen Endpositionen des bewegten Körpers.
Der Körper wird dabei nicht wie eine Feder mechanisch zusammengedrückt. Die unterschiedlichen Messwerte gehören zu unterschiedlichen Bezugssystemen und deren Gleichzeitigkeit. Es handelt sich auch nicht einfach um das Aussehen auf einem Foto; Lichtlaufzeiten beeinflussen optische Bilder zusätzlich.
Zwei Messwerte, derselbe Körper. In Bewegungsrichtung erhält das Labor 90 m statt 150 m. Die senkrechte Breite bleibt unverändert; deshalb sind die beiden Balken gleich hoch.
Die Balken zeigen die Längen im gleichen Maßstab, keine fotografische Ansicht. Für die Laborlänge werden beide Enden gleichzeitig im Labor erfasst.
Lernschritt 3
γ = 1√(1 − β²); β = vc
L = L₀γ = L₀ · √(1 − β²)
Die Formel gilt für die Längenkomponente parallel zur Relativbewegung. Senkrechte Abmessungen bleiben bei diesem Vergleich unverändert. Bei einem schräg orientierten Körper müssen die parallele und die senkrechte Komponente getrennt betrachtet werden.
Für v = 0 gilt L = L₀. Für 0 < v < c ist die parallel gemessene Länge kleiner. Die Eigenlänge ist daher die größte Länge in diesem Vergleich. Ein materieller Körper erreicht im Modell kein v = c.
L₀ wird im Ruhesystem des Körpers gemessen. L bezeichnet hier die Länge des bewegten Körpers im Labor.
Die Formel betrifft die Richtung parallel zur Bewegung. Beide Endpositionen müssen im messenden System gleichzeitig erfasst werden.
β = v/c und √(1 − β²) bestimmen. Dieser Faktor liegt für einen bewegten materiellen Körper zwischen 0 und 1.
L = L₀√(1 − β²). Die parallel gemessene Laborlänge darf nicht größer als die Eigenlänge sein; quer bleibt die Abmessung unverändert.
Lernschritt 4
Stelle v = 0,80c ein. Im Labor beträgt die Länge 60 m. Welche Länge misst eine mit dem Stab mitbewegte Person? Weiterhin 100 m. Frage anschließend nach der Höhe des Stabes: Eine zur Bewegung senkrechte Höhe wird nicht kontrahiert.
Lernschritt 5
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Raumschiff mit 150 m Eigenlänge bewegt sich entlang seiner Längsachse mit 0,80c. Welche Länge misst das Labor?
L₀ = 150 m · β = 0,80 · gesucht: L
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| √(1 − β²) = √(1 − 0,64) = 0,60 |
1Verkürzungsfaktor bestimmen
Verwende das dimensionslose Verhältnis v/c. |
| L = L₀ · √(1 − β²) = 150 m · 0,60 = 90 m |
2Parallele Länge berechnen
Das Labor bestimmt Bug und Heck gleichzeitig nach seinen synchronisierten Uhren. |
| Besatzung: 150 m Labor: 90 m |
3Messwerte zuordnen
Die Besatzung misst weiterhin die Eigenlänge. Das Schiff wird nicht mechanisch zusammengedrückt. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Das Raumschiff ist im Ruhesystem 150 m lang und 20 m breit. Es bewegt sich mit 0,80c entlang der Längsachse.
L₀ = 150 m · Breite = 20 m · √(1 − β²) = 0,60
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| Lparallel = 150 m · 0,60 = 90 m |
1Parallele Abmessung umrechnen
Nur die Komponente in Bewegungsrichtung wird kontrahiert. |
| Lquer = 20 m |
2Querabmessung übernehmen
Die Breite steht senkrecht zur Bewegung und bleibt bei diesem Vergleich unverändert. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Stab besitzt 100 m Eigenlänge. Das Labor misst parallel zur Bewegung 80 m. Bestimme den Geschwindigkeitsbetrag.
L₀ = 100 m · L = 80 m
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| LL₀ = 80 m100 m = 0,80 |
1Längenverhältnis bilden
Die Einheiten kürzen sich. Das Verhältnis entspricht √(1 − β²). |
| β = √[1 − (L/L₀)²] = √(1 − 0,80²) = 0,60 |
2Gleichung nach β auflösen
Das Längenverhältnis darf im verwendeten Modell nicht größer als 1 sein. |
| v = 0,60c |
3Geschwindigkeit deuten
Aus dem Längenverhältnis erhältst du nur den Betrag, keine Bewegungsrichtung. |
Lernschritt 6
Markiert das Labor beide Endpositionen gleichzeitig, gehören dazu zwei Ereignisse an verschiedenen Orten. Im Stab-Ruhesystem liegen diese beiden Ereignisse im Allgemeinen zu verschiedenen Zeiten. Für eine dortige gleichzeitige Längenmessung wird deshalb ein anderes Ereignispaar verwendet.
Das ist der Grund, warum unterschiedliche Längenmessungen zusammenpassen. Wer nur die Ortsangaben umrechnet und die Zeitangaben ignoriert, vergleicht unterschiedliche Messvorschriften.
Die Zeitdilatation und die Längenkontraktion gehören zur selben Theorie. Bei Zeitdilatation sucht man zwei Ereignisse an einer mitbewegten Uhr; bei Längenkontraktion sind gleichzeitige Ereignisse an zwei Enden entscheidend.
Eine Länge braucht zwei Ortsangaben zur selben Zeit. Das Labor erfasst Heck und Bug gleichzeitig nach seinen synchronisierten Uhren und bildet die Differenz der Positionen.
Würde es das zweite Ende später erfassen, wäre das Schiff inzwischen weitergeflogen. Im Ruhesystem des Schiffs sind diese beiden Labor-Messereignisse im Allgemeinen nicht gleichzeitig.
Lernschritt 7
Mit γ multiplizieren: Für die bewegte parallele Länge wird L₀ durch γ geteilt.
Alle Richtungen verkürzen: Senkrechte Komponenten bleiben unverändert.
Enden zu verschiedenen Laborzeiten messen: So erhält man nicht die gesuchte Laborlänge.
Ein Foto mit einer Koordinatenmessung gleichsetzen: Licht von verschiedenen Stellen kann unterschiedlich lange unterwegs sein.
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Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Berechne bewegte Länge, Eigenlänge oder Relativgeschwindigkeit. Die Formel gilt parallel zur Bewegung; die Endpunkte werden im betrachteten System gleichzeitig gemessen. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
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Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
Die Eigenlänge L₀.
60 m.
L = L₀.
Nein, nicht durch diese Längenkontraktion.
Gleichzeitig nach den synchronisierten Laboruhren.
v = 0,80c.
Fachlicher Abgleich der Grundlagen: OpenStax · University Physics.
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