1 · Was passiert im Modell bei δ = 0?
Lösung ansehen
Die Schwingung ist ungedämpft; ihre mechanische Energie bleibt konstant.
Physik verstehen und üben · Schwingungen
Physik · Sekundarstufe I und II
Gedämpfte Schwingungen: verstehen und üben
Warum klingt eine Schwingung ab – und warum kann sehr starke Dämpfung die Rückkehr sogar verlangsamen? Vergleiche das Ausschwingen desselben Systems bei verschiedenen Dämpfungen.
FD = −b · v
Die Dämpfungskraft wirkt im Modell entgegen der Geschwindigkeit. Mechanische Energie wird in andere Energieformen umgewandelt.
Eine Schwingung verliert mechanische Energie
Ein Federpendel wird ausgelenkt und losgelassen. Ohne Energiezufuhr werden seine Ausschläge in der Realität meist kleiner. Reibung und Strömungswiderstand übertragen mechanische Energie beispielsweise in innere Energie der Umgebung.
Wir verwenden ein lineares Modell: Die Federkraft ist proportional zur Auslenkung x, die Dämpfungskraft proportional zur Geschwindigkeit v. x wird von der Gleichgewichtslage aus gemessen. D bezeichnet die Federkonstante, b den Dämpfungskoeffizienten und m die schwingende Masse.
Nicht jede Reibung folgt diesem Gesetz. Trockene Gleitreibung oder starker Luftwiderstand können andere Kurven erzeugen. Die folgenden Gleichungen gelten für das ausdrücklich gewählte lineare Modell.
Federkraft und Dämpfung zusammen betrachten
m · x″ + b · x′ + D · x = 0
x′ ist die Geschwindigkeit, x″ die Beschleunigung. Die Null auf der rechten Seite bedeutet: Es gibt keine zusätzliche äußere Anregungskraft.
ω₀ = √(Dm); δ = b2m
ω₀ ist die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz in rad·s−1. δ ist die Abklingkonstante in s−1. b hat die Einheit kg·s−1. Je größer δ bei festem ω₀, desto stärker ist die Dämpfung.
ωd = √(ω₀² − δ²) für δ < ω₀
Im Schwingfall ist die gedämpfte Kreisfrequenz kleiner als ω₀. Bei schwacher Dämpfung ist der Unterschied klein. Kreisfrequenz ω und Frequenz f sind über ω = 2πf verknüpft.
Von Nachschwingen bis zur langsamen Rückkehr
Alle Kurven beginnen bei x₀ = 5 cm und v₀ = 0. Die Eigenkreisfrequenz bleibt ω₀ = 4 rad·s−1. So vergleichst du dieselben Startbedingungen bei unterschiedlicher Dämpfung.
δ = 0,50 s⁻¹: gedämpfter Schwingfall. Die Auslenkung wechselt mehrfach das Vorzeichen.
Unterrichtsimpuls mit Erklärung
Vergleiche δ = 0, 1, 4 und 6 s⁻¹. Ohne Dämpfung bleibt die Schwingung bestehen. Bei δ = 4 s⁻¹ liegt der aperiodische Grenzfall vor. Bei δ = 6 s⁻¹ ist die Dämpfung noch stärker, aber die Rückkehr aus derselben Ruhelage-Auslenkung langsamer. „Mehr Dämpfung“ bedeutet also nicht unbegrenzt „schneller zurück“.
Drei Fälle unterscheiden
Schwingfall, 0 < δ < ω₀: Der Körper überschreitet wiederholt die Gleichgewichtslage. Die Ausschläge nehmen ab. δ = 0 ist der ungedämpfte Grenzfall mit gleichbleibenden Ausschlägen.
Aperiodischer Grenzfall, δ = ω₀: Bei den hier gewählten Startbedingungen nähert sich der Körper ohne Überschwingen der Gleichgewichtslage. Dies ist die schnellste Rückkehr ohne Überschwingen innerhalb dieses Vergleichs.
Kriechfall, δ > ω₀: Der Körper kehrt aus der gezeigten Startlage ebenfalls ohne Überschwingen zurück, aber langsamer. Eine größere Dämpfung bremst nun auch die Rückbewegung stark.
Diese Aussagen zum Überschwingen beziehen sich auf das Loslassen aus Ruhe. Andere Anfangsgeschwindigkeiten müssen gesondert betrachtet werden.
Wie beschreibt man das Abklingen?
Im Schwingfall besitzt die allgemeine Lösung die Form x(t) = C·e−δt·cos(ωdt + φ). C und φ hängen von den Anfangsbedingungen ab. Der Faktor e−δt beschreibt das exponentielle Abklingen.
Für das Loslassen aus Ruhe bei x₀ ist die folgende Schreibweise besonders praktisch und wird in der Grafik verwendet:
x(t) = x₀e−δt [cos(ωdt) + δωd sin(ωdt)]
Der zusätzliche Sinusterm sorgt dafür, dass v(0) = 0 gilt. Einfach x₀e−δtcos(ωdt) einzusetzen würde bei δ > 0 eine andere Anfangsgeschwindigkeit ergeben.
Td = 2πωd
Gleichgerichtete Spitzen vergleichen
Gegeben: ω₀ = 4 rad·s−1 und δ = 0,50 s−1. Dann folgt:
ωd = √(16 − 0,25) rad·s−1 ≈ 3,969 rad·s−1
Td ≈ 2π3,969 s ≈ 1,583 s
Von einer positiven Spitze zur nächsten vergeht eine volle Periode. Ihr Höhenverhältnis ist e−δTd ≈ 0,453. Aus einer positiven Startspitze von 5 cm wird die nächste positive Spitze bei ungefähr 2,27 cm.
Die Zeit bis zur Halbierung des exponentiellen Hüllfaktors ist ln(2) geteilt durch δ, hier etwa 1,386 s. Das ist keine halbe Schwingungsdauer und auch keine Zeit, zu der die momentane Auslenkung zwingend halbiert ist.
Energieerhaltung gilt weiterhin
Emech = 12mv² + 12Dx²
dEmechdt = −b · v² ≤ 0
Die mechanische Energie nimmt ab oder ist in einem einzelnen Moment unverändert. Sie verschwindet nicht aus der Gesamtbilanz, sondern wird in andere Energieformen übertragen. Für schwache Dämpfung fällt die über Schwingungen gemittelte Energie näherungsweise wie e−2δt.
Typische Fehler vermeiden
Amplitude und Auslenkung gleichsetzen: x ist der momentane Wert; die abklingenden Spitzen beschreiben die Stärke der Schwingung.
Dämpfung als zusätzliche Rückstellkraft behandeln: Im Modell ist sie von der Geschwindigkeit abhängig.
Schwingungsformeln im Kriechfall benutzen: Dort gibt es keine reelle gedämpfte Schwingungsfrequenz.
Mehr Dämpfung immer für schneller halten: Vergleiche Grenzfall und Kriechfall.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · ω₀ = 4 und δ = 3, jeweils in s⁻¹: Welcher Fall liegt vor?
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Ein gedämpfter Schwingfall, weil δ kleiner als ω₀ ist.
3 · ω₀ = 4 und δ = 4: Welcher Fall liegt vor?
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Der aperiodische Grenzfall.
4 · Wohin wirkt FD bei positiver Geschwindigkeit?
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In die negative Richtung, entgegen der Bewegung.
5 · δ = ln(2) s⁻¹: Nach welcher Zeit halbiert sich der Hüllfaktor?
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Nach 1 s.
6 · Geht bei der Dämpfung Gesamtenergie verloren?
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Nein. Mechanische Energie wird in andere Energieformen umgewandelt.
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