Erzwungene Schwingungen und Resonanz: verstehen und üben

Ein System erhält regelmäßig Energie

Eine Schaukel wird wiederholt angeschubst, ein Lautsprecher wird elektrisch angetrieben: Eine äußere periodische Anregung kann eine Schwingung aufrechterhalten. Die Anregungsfrequenz gibt dabei den Takt vor.

Nach dem Einschalten überlagern sich zunächst eine abklingende freie Bewegung und die erzwungene Bewegung. Bei vorhandener Dämpfung bleibt nach ausreichend langer Zeit der eingeschwungene Zustand übrig. Genau diesen betrachtet die Resonanzkurve unten.

Die Bewegung schwingt dann mit der Anregungsfrequenz, nicht unabhängig davon mit der freien Eigenfrequenz. Die Eigenfrequenz beeinflusst jedoch, wie stark das System auf die Anregung reagiert.

Das Modell mit Anregung

m · x″ + b · x′ + D · x = F₀ · cos(Ωt)

F₀ ist die feste Kraftamplitude und Ω die Anregungskreisfrequenz. m, b und D beschreiben Masse, lineare Dämpfung und Feder. Die Anregung wirkt als vorgegebene Kraft; eine vorgeschriebene Bewegung der Aufhängung wäre ein anderes Modell.

ω₀ = √(Dm);   ζ = b2mω₀;   q = Ωω₀

ζ ist das dimensionslose Dämpfungsmaß, q das Frequenzverhältnis. Da sich der Faktor 2π kürzt, ist q auch gleich dem Verhältnis der gewöhnlichen Frequenzen fAnregung zu f₀.

A_stat = F₀D

Astat ist die statische Auslenkung unter der konstanten Kraft F₀. Sie dient als Vergleichsmaßstab.

Die Resonanzkurve untersuchen

Verändere das Frequenzverhältnis q und die Dämpfung ζ. Der orange Punkt markiert die gewählte Anregung. Die blaue Linie zeigt für dieselbe Dämpfung alle eingeschwungenen Amplituden.

Die Amplitude im eingeschwungenen Zustand

AA_stat = 1√((1 − q²)² + (2ζq)²)

Bei kleiner Anregungsfrequenz folgt die Bewegung der Kraft nahezu statisch. Nahe der Eigenfrequenz kann die Amplitude deutlich anwachsen. Bei sehr hoher Frequenz ist die Auslenkung klein, weil die Masse der schnellen Kraftänderung kaum folgt.

Bei q = 1:   AA_stat = 12ζ

Diese Formel gilt für ζ > 0. Der Regler enthält bewusst keine Dämpfung null: Bei exakt resonanter Anregung hätte der ungedämpfte ideale Oszillator keinen endlichen eingeschwungenen Amplitudenwert.

Wo liegt das Resonanzmaximum genau?

q_res = √(1 − 2ζ²)  für ζ < 1√2

Für kleine Dämpfung liegt das Maximum nahe q = 1. Es liegt aber nicht exakt dort. Ab ζ ≥ 1/√2 gibt es bei diesem kraftangeregten Modell keine Amplitudenüberhöhung gegenüber dem statischen Wert mehr.

Die Frequenz des maximalen Auslenkungsausschlags ist außerdem nicht dieselbe Größe wie die gedämpfte freie Eigenfrequenz. Auch das Maximum der mittleren aufgenommenen Leistung muss davon unterschieden werden. Hier untersuchen wir ausdrücklich die Auslenkungsamplitude.

Eine Anregung nahe der Eigenfrequenz

Gegeben: m = 1,0 kg, D = 100 N·m⁻¹, b = 4,0 kg·s⁻¹ und F₀ = 1,0 N.

ω₀ = 10 rad·s⁻¹;   ζ = 42 · 1 · 10 = 0,20

A_stat = 1 N100 N·m⁻¹ = 0,010 m = 1,0 cm

Bei Ω = ω₀, also q = 1, ergibt sich A/Astat = 1/(2·0,20) = 2,50. Die Amplitude beträgt 2,50 cm.

Das tatsächliche Amplitudenmaximum liegt bei qres = √0,92 ≈ 0,959. Dort beträgt die relative Amplitude etwa 2,552 und damit der Ausschlag etwa 2,55 cm. Der Unterschied ist klein, aber messbar.

Warum bleibt die Amplitude trotz Energiezufuhr begrenzt?

Im eingeschwungenen Zustand führt die Anregung über eine ganze Periode im Mittel genau so viel Energie zu, wie die Dämpfung abführt. Die Auslenkung kann dabei gegenüber der Kraft zeitlich verschoben sein.

Bei Anregung mit Ω = ω₀ liegt die Auslenkung im linearen Modell um ein Viertel der Periode hinter der Kraft. Die Geschwindigkeit ist dann mit der Kraft in Phase. Die Energiezufuhr hängt also auch vom passenden zeitlichen Zusammenspiel ab.

Große Ausschläge können in realen Systemen durch Materialgrenzen, nichtlineare Kräfte oder veränderte Dämpfung begrenzt werden. Eine im Modell hohe Resonanzkurve ist keine vollständige Vorhersage von Schäden.

Typische Fehler vermeiden

Eigenfrequenz und Anregungsfrequenz gleichsetzen: Sie sind getrennte Größen.

Die Kurve als Einschaltverlauf lesen: Jeder Punkt gehört zu einem eigenen eingeschwungenen Versuch.

Resonanz immer exakt bei q = 1 annehmen: Das Auslenkungsmaximum ist bei Dämpfung verschoben.

Energiezufuhr bedeutet unbegrenztes Wachstum: Bei Dämpfung stellt sich ein Energiegleichgewicht ein.

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Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.

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