Warum klingt eine näherkommende Sirene höher und eine sich entfernende tiefer? Untersuche die Wellenabstände einer bewegten Schallquelle.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Eine Sirene kann einen Ton mit gleichbleibender Quellfrequenz f₀ erzeugen. Bewegt sie sich auf einen Empfänger zu, hört dieser eine höhere Frequenz. Entfernt sie sich, hört er eine niedrigere Frequenz. Diese Verschiebung heißt Dopplereffekt.
Wir betrachten Schall in ruhender, homogener Luft mit c = 343 m·s−1. Die Quelle bewegt sich gleichförmig nach rechts und langsamer als der Schall. Die verglichenen Empfänger ruhen relativ zur Luft und liegen auf der Bewegungsachse vor beziehungsweise hinter der Quelle.
Tonhöhe und Lautstärke sind unterschiedliche Eigenschaften. Eine Sirene kann beim Näherkommen zugleich lauter werden, aber die Tonhöhenänderung wird durch die veränderte Empfangsfrequenz erklärt.
Lernschritt 2
T₀ = 1f₀
Während einer Periode breitet sich eine Wellenfront um cT₀ aus. Die Quelle rückt gleichzeitig um vQT₀ vor. Dadurch beträgt der Abstand aufeinanderfolgender Fronten:
λvorn = c − vQf₀; λhinten = c + vQf₀
Für einen in der Luft ruhenden Empfänger gilt f = c/λ. Daraus folgt:
fvorn = f₀ · cc − vQ
fhinten = f₀ · cc + vQ
vQ ist hier der positive Betrag der Quellgeschwindigkeit. Das Minus im Nenner gehört zur Annäherung, das Plus zum Entfernen. Die Schallgeschwindigkeit in der ruhenden Luft selbst wird durch die Bewegung der Quelle nicht größer.
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine Quelle sendet 500 Hz. Ein ruhender Empfänger direkt vor ihr misst 625 Hz.
Gegeben: c = 343 m/s; geradlinige Annäherung · Gesucht: vQ
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| fE(c − vQ) = f₀c |
1Den Nenner beseitigen
Multipliziere die Quellformel mit c − vQ. |
| vQ = c · (1 − f₀ / fE) |
2Nach vQ umstellen
Teile durch fE und isoliere die Quellgeschwindigkeit. |
| vQ = 343 m/s · (1 − 500/625) = 68,6 m/s |
3Werte einsetzen
Der Geschwindigkeitsanteil ist 0,20 der Schallgeschwindigkeit. |
| 68,6 · 3,6 km/h = 246,96 km/h |
4In Alltagseinheiten einordnen
Der große Wert macht den Effekt im Modell deutlich; er ist kein typischer Wert für eine Sirene im Straßenverkehr. |
Lernschritt 3
Der Regler zeigt die Quellgeschwindigkeit als Anteil an der Schallgeschwindigkeit. Bei 0,20·c bewegt sich die Quelle mit 68,6 m·s−1. Die hohe Obergrenze macht den Effekt deutlich sichtbar; sie ist kein typisches Beispiel für ein Straßenfahrzeug.
Orange: aktuelle Quelle; sie bewegt sich nach rechts. Blau: ausgesendete Wellenfronten.
Vorn: kleinere Abstände
Hinten: größere Abstände
Die Quellfrequenz bleibt 500 Hz. Jede Front ist eine Periode älter als die nächste. Ihre Mittelpunkte liegen an den früheren Sendeorten.
Gezeigt ist ein Schnitt durch kugelförmige Fronten bei festem Maßstab. Der Pfeil markiert die Richtung; seine Länge steht nicht für die Geschwindigkeit.
Beginne bei vQ = 0: Alle Fronten haben denselben Mittelpunkt. Stelle dann 0,20·c ein. Die Quelle sendet weiterhin 500 Schwingungen pro Sekunde; nur die Abstände in der Luft ändern sich. Prüfe, warum vorne c/λ größer und hinten kleiner wird.
Lernschritt 4
Wir betrachten geradlinige Bewegung entlang der Verbindung zwischen Quelle und Empfänger. Die Luft ruht, c = 343 m/s. Die Quellfrequenz bleibt in beiden Fällen 600 Hz.
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine Sirene fährt mit 72 km/h direkt auf einen in der Luft ruhenden Empfänger zu.
Gegeben: f₀ = 600 Hz; vQ = 72 km/h; c = 343 m/s · Gesucht: fE
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| vQ = 72 / 3,6 m/s = 20 m/s |
1Geschwindigkeit umrechnen
Alle Geschwindigkeiten müssen in derselben Einheit vorliegen. |
| fE = f₀ · cc − vQ |
2Fall und Vorzeichen wählen
Die bewegte Quelle verkürzt die Wellenlänge vor sich: Minus im Nenner. |
| fE = 600 Hz · 343343 − 20 ≈ 637,2 Hz |
3Einsetzen und ausrechnen
Der Quotient der Geschwindigkeiten ist dimensionslos. |
| 637,2 Hz > 600 Hz |
4Plausibilität prüfen
Bei Annäherung muss die Empfangsfrequenz höher sein. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Dieselbe Sirene entfernt sich mit 20 m/s direkt vom ruhenden Empfänger.
Gegeben: f₀ = 600 Hz; c = 343 m/s
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| fE = f₀ · cc + vQ |
1Plus im Nenner wählen
Hinter der Quelle liegen die Wellenfronten weiter auseinander. |
| fE = 600 Hz · 343343 + 20 ≈ 566,9 Hz |
2Berechnen
Der Nenner ist größer als der Zähler; der Faktor liegt unter eins. |
| Δf ≈ 566,9 Hz − 600 Hz = −33,1 Hz |
3Verschiebung beurteilen
Die Absenkung ist nicht exakt so groß wie die Erhöhung beim Näherkommen. |
Lernschritt 5
Ruht die Quelle in der Luft und bewegt sich nur der Empfänger, bleiben die Wellenabstände im Medium unverändert. Der Empfänger durchquert die Fronten jedoch häufiger oder seltener.
Annäherung: fE = f₀ · c + vEc
Entfernen: fE = f₀ · c − vEc
Diese Formeln gelten für die geradlinige Bewegung entlang der Schallausbreitung; vE ist wieder ein positiver Geschwindigkeitsbetrag. Bei Schall ist entscheidend, wie Quelle und Empfänger sich relativ zum Medium bewegen. Deshalb dürfen ihre Fälle nicht einfach vertauscht werden.
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Quelle ruht in der Luft und sendet 600 Hz. Der Empfänger bewegt sich mit 20 m/s direkt auf sie zu.
Gegeben: c = 343 m/s; vE = 20 m/s · Gesucht: fE
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| λ = c / f₀ |
1Wellenlänge im Medium betrachten
Weil die Quelle ruht, bleiben die Wellenfrontabstände unverändert. |
| fE = f₀ · c + vEc |
2Empfängerformel wählen
Der Empfänger begegnet den Wellenfronten häufiger. Seine Geschwindigkeit steht deshalb im Zähler. |
| fE = 600 Hz · 363343 ≈ 635,0 Hz |
3Berechnen und vergleichen
Das ist etwas weniger als bei der mit 20 m/s bewegten Quelle: etwa 637,2 Hz. |
Lernschritt 6
Bei einer realen Vorbeifahrt mit seitlichem Abstand ändert sich die Richtung zwischen Quelle und Empfänger fortlaufend. Dann sind die reinen Vorne-hinten-Werte nur Grenzfälle der geradlinigen Annäherung oder Entfernung. Die wahrgenommene Tonhöhe geht meist kontinuierlich zwischen ihnen über.
Bei vQ nahe oder oberhalb von c gelten die verwendeten einfachen Annäherungsformeln nicht als Beschreibung einer gewöhnlichen Tonhöhenverschiebung. Dort treten unter anderem Machkegel und Stoßwellen auf. Der Regler bleibt deshalb deutlich unter c.
Auch Licht zeigt einen Dopplereffekt, benötigt aber eine relativistische Beschreibung. Die hier verwendeten Schallformeln werden darauf nicht unverändert übertragen.
Lernschritt 7
Höher mit lauter verwechseln: Die Frequenz bestimmt die Tonhöhe.
km/h ohne Umrechnung einsetzen: Verwende für alle Geschwindigkeiten dieselbe Einheit.
Falsches Vorzeichen im Nenner: Annäherung muss im betrachteten Fall eine höhere Frequenz ergeben.
Die Wellenfronten um den aktuellen Ort zeichnen: Jede Front breitet sich um ihren ursprünglichen Sendeort aus.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Du löst jeweils sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung, Tipps und Rechenwegen.
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Bearbeite drei weitere Aufgaben ohne Nachschlagen. Nutze die Rückmeldung, um gezielt weiterzulernen.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Wähle bewegte Quelle oder bewegten Empfänger sowie Annäherung oder Entfernung. Berechne Frequenzen und Geschwindigkeiten für geradlinige Schallausbreitung im ruhenden Medium; die Bewegung bleibt unterhalb der Schallgeschwindigkeit. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
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Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
Die Quellfrequenz f₀.
Kleiner.
625 Hz.
Ungefähr 416,7 Hz.
30 m·s⁻¹.
Nein. Sie verändert die Abstände der Fronten, nicht deren Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium.
Fachlicher Abgleich der Grundgleichungen: OpenStax · University Physics.
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