1 · Quelle und Empfänger ruhen relativ zur Luft. Welche Frequenz hört der Empfänger?
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Die Quellfrequenz f₀.
Physik verstehen und üben · Schall und Wellen
Physik · Sekundarstufe I und II
Dopplereffekt: verstehen und üben
Warum klingt eine näherkommende Sirene höher und eine sich entfernende tiefer? Untersuche die Wellenabstände einer bewegten Schallquelle.
fvorn = f₀ · cc − vQ
Für einen ruhenden Empfänger direkt vor der bewegten Quelle treffen die Wellenfronten in kürzeren Zeitabständen ein.
Die Quelle sendet gleichmäßig – der Empfang ändert sich
Eine Sirene kann einen Ton mit gleichbleibender Quellfrequenz f₀ erzeugen. Bewegt sie sich auf einen Empfänger zu, hört dieser eine höhere Frequenz. Entfernt sie sich, hört er eine niedrigere Frequenz. Diese Verschiebung heißt Dopplereffekt.
Wir betrachten Schall in ruhender, homogener Luft mit c = 343 m·s−1. Die Quelle bewegt sich gleichförmig nach rechts und langsamer als der Schall. Die verglichenen Empfänger ruhen relativ zur Luft und liegen auf der Bewegungsachse vor beziehungsweise hinter der Quelle.
Tonhöhe und Lautstärke sind unterschiedliche Eigenschaften. Eine Sirene kann beim Näherkommen zugleich lauter werden, aber die Tonhöhenänderung wird durch die veränderte Empfangsfrequenz erklärt.
Bewegte Quelle, ruhender Empfänger
T₀ = 1f₀
Während einer Periode breitet sich eine Wellenfront um cT₀ aus. Die Quelle rückt gleichzeitig um vQT₀ vor. Dadurch beträgt der Abstand aufeinanderfolgender Fronten:
λvorn = c − vQf₀; λhinten = c + vQf₀
Für einen in der Luft ruhenden Empfänger gilt f = c/λ. Daraus folgt:
fvorn = f₀ · cc − vQ
fhinten = f₀ · cc + vQ
vQ ist hier der positive Betrag der Quellgeschwindigkeit. Das Minus im Nenner gehört zur Annäherung, das Plus zum Entfernen. Die Schallgeschwindigkeit in der ruhenden Luft selbst wird durch die Bewegung der Quelle nicht größer.
Die Quelle schneller bewegen
Der Regler zeigt die Quellgeschwindigkeit als Anteil an der Schallgeschwindigkeit. Bei 0,20·c bewegt sich die Quelle mit 68,6 m·s−1. Die hohe Obergrenze macht den Effekt deutlich sichtbar; sie ist kein typisches Beispiel für ein Straßenfahrzeug.
vQ = 0,20·c: vorn 625 Hz, hinten etwa 416,7 Hz.
Unterrichtsimpuls mit Erklärung
Beginne bei vQ = 0: Alle Fronten haben denselben Mittelpunkt. Stelle dann 0,20·c ein. Die Quelle sendet weiterhin 500 Schwingungen pro Sekunde; nur die Abstände in der Luft ändern sich. Prüfe, warum vorne c/λ größer und hinten kleiner wird.
Eine Quelle fährt mit 72 km/h
Eine Quelle sendet f₀ = 600 Hz. Ihre Geschwindigkeit beträgt 72 km/h = 20 m·s−1. Ein Empfänger steht direkt in Bewegungsrichtung, ein zweiter hinter der Quelle.
fvorn = 600 Hz · 343343 − 20 ≈ 637,2 Hz
fhinten = 600 Hz · 343343 + 20 ≈ 566,9 Hz
Die Frequenzverschiebungen sind nicht exakt gleich groß: vorne ungefähr +37,2 Hz, hinten ungefähr −33,1 Hz. Die Quelle selbst erzeugt in beiden Fällen weiterhin 600 Hz.
Im Diagramm ist f₀ dagegen fest auf 500 Hz gesetzt. Das Rechenbeispiel zeigt, wie dieselben Formeln mit anderen Ausgangswerten benutzt werden.
Was ist bei einem bewegten Empfänger anders?
Ruht die Quelle in der Luft und bewegt sich nur der Empfänger, bleiben die Wellenabstände im Medium unverändert. Der Empfänger durchquert die Fronten jedoch häufiger oder seltener.
Annäherung: fE = f₀ · c + vEc
Entfernen: fE = f₀ · c − vEc
Diese Formeln gelten für die geradlinige Bewegung entlang der Schallausbreitung; vE ist wieder ein positiver Geschwindigkeitsbetrag. Bei Schall ist entscheidend, wie Quelle und Empfänger sich relativ zum Medium bewegen. Deshalb dürfen ihre Fälle nicht einfach vertauscht werden.
Vorbeifahrt und Modellgrenzen
Bei einer realen Vorbeifahrt mit seitlichem Abstand ändert sich die Richtung zwischen Quelle und Empfänger fortlaufend. Dann sind die reinen Vorne-hinten-Werte nur Grenzfälle der geradlinigen Annäherung oder Entfernung. Die wahrgenommene Tonhöhe geht meist kontinuierlich zwischen ihnen über.
Bei vQ nahe oder oberhalb von c gelten die verwendeten einfachen Annäherungsformeln nicht als Beschreibung einer gewöhnlichen Tonhöhenverschiebung. Dort treten unter anderem Machkegel und Stoßwellen auf. Der Regler bleibt deshalb deutlich unter c.
Auch Licht zeigt einen Dopplereffekt, benötigt aber eine relativistische Beschreibung. Die hier verwendeten Schallformeln werden darauf nicht unverändert übertragen.
Typische Fehler vermeiden
Höher mit lauter verwechseln: Die Frequenz bestimmt die Tonhöhe.
km/h ohne Umrechnung einsetzen: Verwende für alle Geschwindigkeiten dieselbe Einheit.
Falsches Vorzeichen im Nenner: Annäherung muss im betrachteten Fall eine höhere Frequenz ergeben.
Die Wellenfronten um den aktuellen Ort zeichnen: Jede Front breitet sich um ihren ursprünglichen Sendeort aus.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · Eine Quelle nähert sich einem ruhenden Empfänger. Wird λ vor ihr größer oder kleiner?
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Kleiner.
3 · vQ = 0,20c und f₀ = 500 Hz: Welche Frequenz hört man direkt vorn?
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625 Hz.
4 · Welche Frequenz hört man im selben Beispiel direkt hinten?
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Ungefähr 416,7 Hz.
5 · Wie viel sind 108 km/h in m·s⁻¹?
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30 m·s⁻¹.
6 · Ändert die bewegte Quelle in diesem Modell die Schallgeschwindigkeit in der ruhenden Luft?
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Nein. Sie verändert die Abstände der Fronten, nicht deren Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium.
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