Ein Photon wird an einem Elektron gestreut und verliert dabei Energie. Warum wird seine Wellenlänge größer, und welche Rolle spielt der Streuwinkel?
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Röntgenstrahlung wird auf eine Probe gerichtet. Untersucht man das gestreute Licht unter verschiedenen Winkeln, findet man neben gegebenenfalls unveränderter Strahlung auch einen Anteil mit größerer Wellenlänge. Diese Verschiebung lässt sich durch die Wechselwirkung eines Photons mit einem Elektron erklären.
Das Photon überträgt Energie und Impuls auf das Elektron. Es bleibt nach dem Vorgang als gestreutes Photon erhalten. Das Elektron erhält Bewegungsenergie. Für die folgende Rechnung betrachten wir ein freies Elektron, das vor der Streuung ruht; schwach gebundene Elektronen können näherungsweise so behandelt werden.
θ bezeichnet den Winkel zwischen der ursprünglichen und der neuen Ausbreitungsrichtung des Photons. Er ist nicht der Winkel des zurückstoßenden Elektrons.
Welcher Winkel gehört in die Formel?
θ liegt zwischen der ursprünglichen Vorwärtsrichtung und der Richtung des gestreuten Photons. Der Elektronenpfeil hat einen eigenen Rückstoßwinkel.
Die Pfeile kennzeichnen schematisch Richtungen, keine maßstäblichen Impulsbeträge. Nach der Streuung gilt λ′ > λ für θ > 0: Das Photon gibt Energie und Impuls an das anfangs ruhende Elektron ab.
Lernschritt 2
Δλ = λ′ − λ = λC · (1 − cos θ)
λC = hmₑc ≈ 2,426 pm
λ ist die Wellenlänge vor der Streuung, λ′ die Wellenlänge danach. Die Compton-Wellenlänge λC gehört hier zum Elektron. 1 pm = 10−12 m.
Eγ = hcλ; pγ = hλ
Ein Photon besitzt keine Ruhemasse, aber Energie und Impuls. Je größer seine Wellenlänge, desto kleiner sind beide. Seine Geschwindigkeit im Vakuum bleibt c.
Die Formel folgt aus der Erhaltung der gesamten relativistischen Energie und des Impulses. Die Annahme eines anfangs ruhenden Elektrons ist wesentlich; bei bereits schnellen Elektronen kann die Energieübertragung anders ausfallen.
Die Standardformel gilt für ein anfangs ruhendes, freies Elektron. θ ist der Streuwinkel des Photons.
Δλ = λC · (1 − cos θ). Bei Winkeln in Grad den Taschenrechner auf DEG stellen.
Erst λ′ = λ + Δλ liefert die Wellenlänge nach der Streuung.
Berechne bei Bedarf beide Photonenenergien mit hc/λ. Ihre Differenz wird zur kinetischen Energie des Elektrons.
Lernschritt 3
Lasse den Winkel bei 90° und verändere λ von 20 pm auf 100 pm. Die absolute Verschiebung bleibt gleich. Vergleiche aber den Anteil der übertragenen Energie: Derselbe Wellenlängenzuwachs wirkt sich bei kurzen Ausgangswellenlängen stärker aus.
Lernschritt 4
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Photon mit λ = 50 pm trifft auf ein ruhendes Elektron.
θ = 90°; λC ≈ 2,426 pm.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| cos 90° = 0 |
1Winkelfaktor bestimmen
Verwende den Gradmodus, nicht den Bogenmaßmodus. |
| Δλ = 2,426 pm · (1 − 0) |
2Compton-Formel einsetzen
Die Formel liefert zunächst nur die Änderung. |
| λ′ = 50 pm + 2,426 pm |
3Änderung addieren
Die ursprüngliche Wellenlänge darf nicht weggelassen werden. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Werte die Energiebilanz aus Beispiel 1 aus.
hc ≈ 1239,84 keV·pm; vorzeitiges Runden vermeiden.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| Eγ = 1239,84 / 50 keV ≈ 24,7968 keV |
1Energie vorher berechnen
pm kürzt sich; die Energie steht in keV. |
| E′γ = 1239,84 / 52,426 keV ≈ 23,6493 keV |
2Energie nachher berechnen
Mit der größeren Wellenlänge wird die Photonenenergie kleiner. |
| Ekin,e = Eγ − E′γ ≈ 1,148 keV |
3Energieübertragung bestimmen
Die Ruheenergie des Elektrons steht auf beiden Seiten der vollständigen Energiebilanz und kürzt sich. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Gemessen wird eine Verschiebung von 1,213 pm.
λC ≈ 2,426 pm; 0° ≤ θ ≤ 180°.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| Δλ / λC = 1,213 / 2,426 = 0,5 |
1Durch λC teilen
Der Quotient ist einheitenlos. |
| cos θ = 1 − 0,5 = 0,5 |
2Nach dem Kosinus umstellen
Die Reihenfolge der Subtraktion ist entscheidend. |
| θ = arccos(0,5) = 60° |
3Umkehrfunktion verwenden
Im DEG-Modus erhältst du Grad. Zulässig ist nur 0 ≤ Δλ ≤ 2λC. |
Lernschritt 5
0°: cos θ = 1. Es gibt im Modell keine Wellenlängenänderung und keine Energieübertragung.
90°: cos θ = 0. Die Verschiebung entspricht einer Compton-Wellenlänge.
180°: cos θ = −1. Die maximale Verschiebung beträgt ungefähr 4,853 pm.
Die Winkel bestimmen mögliche Ergebnisse. Wie oft ein bestimmter Winkel auftritt, lässt sich aus dieser Formel allein nicht ablesen. Bindung und Bewegung der Elektronen beeinflussen reale Messungen.
Die Verschiebung hat eine Obergrenze
Mit λC ≈ 2,426 pm ergibt sich bei 90° eine Verschiebung von λC und bei 180° die doppelte Verschiebung. Die gerundete Rechnung ergibt 4,852 pm; mit genauerem λC sind es rund 4,853 pm.
Dargestellt ist Δλ, nicht die gesamte Wellenlänge λ′ und nicht die Häufigkeit eines Streuwinkels.
Lernschritt 6
Δλ mit λ′ verwechseln: Die Änderung muss zur ursprünglichen Wellenlänge addiert werden.
Energieverlust als langsameres Licht deuten: Im Vakuum bleibt die Lichtgeschwindigkeit konstant.
Photoeffekt und Compton-Effekt gleichsetzen: Beim Photoeffekt wird das Photon absorbiert; hier bleibt ein gestreutes Photon übrig.
Mehr Wellenlänge mit mehr Energie verwechseln: Energie und Wellenlänge sind umgekehrt proportional.
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0 pm.
2 · 2,426 pm ≈ 4,853 pm mit genauerer Konstante.
32 pm.
Nein. Seine Energie und Frequenz sinken, seine Geschwindigkeit bleibt c.
Im Modell des ruhenden freien Elektrons nicht.
2 keV.
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