1 · Ein Peak liegt bei 2θ = 50°. Welcher Winkel gehört in die Formel?
Lösung ansehen
θ = 25°.
Physik verstehen und üben · Wellenoptik
Physik · Sekundarstufe I und II
Bragg-Reflexion: verstehen und üben
Wie lässt sich mit Röntgenstrahlung der Abstand von Kristallebenen bestimmen? Verfolge den zusätzlichen Weg zweier Strahlen und verstehe, warum nur bestimmte Winkel konstruktive Interferenz erlauben.
2d sin θ = nλ
Der zusätzliche Weg zwischen benachbarten Netzebenen muss ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge betragen.
Ein Kristall als regelmäßig angeordnete Streuzentren
In einem Kristall sind Atome räumlich regelmäßig angeordnet. Röntgenstrahlung wird an den Elektronen gestreut. Die gestreuten Wellen überlagern sich: In manchen Richtungen verstärken sie sich, in anderen schwächen sie sich weitgehend ab. Daraus lassen sich Informationen über die Kristallstruktur gewinnen.
Für die Bragg-Beschreibung fassen wir die regelmäßige Anordnung zu parallelen Netzebenen zusammen. Ihr senkrechter Abstand heißt d. Diese Ebenen sind gedachte geometrische Ebenen durch den Kristall, keine eingebauten Spiegel. Das Bild einer Reflexion hilft bei der Wegrechnung; physikalisch geht es um kohärente Streuung und Interferenz.
Wir betrachten monochromatische Strahlung mit Wellenlänge λ und elastische Streuung: Die Wellenlänge bleibt beim betrachteten Streuprozess unverändert. Röntgenwellenlängen liegen in einer Größenordnung, die zu atomaren Abständen passt. Als Grundlage eignet sich die Erklärung zur Interferenz in der Physik-Übersicht.
Zuerst den Winkel eindeutig festlegen
Der Glanzwinkel θ wird zwischen einfallendem Strahl und Netzebene gemessen. Er wird nicht zum Lot auf die Ebene gemessen. In der symmetrischen Bragg-Geometrie bildet der auslaufende Strahl denselben Winkel mit der Ebene.
Der Streuwinkel zwischen der fortgesetzten ursprünglichen Ausbreitungsrichtung und der auslaufenden Richtung beträgt 2θ. Ein Messdiagramm mit der Achse „2θ“ zeigt also den doppelten Winkel, den die Bragg-Formel benötigt. Bei einem Peak bei 2θ = 60° setzt du θ = 30° ein.
Der Innenwinkel zwischen dem zum Ursprung zurückweisenden einfallenden Strahlstück und dem auslaufenden Strahl ist dagegen 180° − 2θ. Entscheidend ist deshalb die Ausbreitungsrichtung, nicht irgendein sichtbarer Winkel zwischen den Linien.
Den Gangunterschied Schritt für Schritt bestimmen
1. Zwei benachbarte Netzebenen vergleichen: Ein Anteil der einfallenden Welle wird an der oberen Ebene gestreut, ein anderer an der nächsttieferen. Verglichen werden gleiche einfallende und auslaufende Wellenfronten.
2. Die zusätzlichen Wege projizieren: Der tiefer gestreute Anteil hat beim Einlaufen und beim Auslaufen jeweils einen zusätzlichen Weg d sin θ. Die rechtwinklige Projektion des Ebenenabstands auf die Strahlrichtung liefert den Sinus.
Δs = d sin θ + d sin θ = 2d sin θ
3. Verstärkung fordern: Treffen Wellenberge wieder auf Wellenberge, ist der zusätzliche Weg ein ganzzahliges Vielfaches von λ.
2d sin θ = nλ; n = 1, 2, 3, …
n heißt Beugungsordnung. Die Bedingung bestimmt mögliche Lagen von Maxima. Ob und wie stark ein Reflex tatsächlich erscheint, hängt zusätzlich von der Anordnung und Art der Atome ab. Manche geometrisch möglichen Reflexe fehlen wegen der Kristallstruktur.
Winkel und Ebenenabstand verändern
λ bleibt bei 0,200 nm. Die grünen Strecken zeigen die beiden zusätzlichen Wege. Die Anzeige vergleicht ihre Summe mit der Wellenlänge. Ein ganzzahliger Quotient Δs/λ erfüllt die Bragg-Bedingung; ein nichtganzzahliger Quotient erfüllt sie nicht exakt. Es wird keine gemessene Intensitätskurve simuliert.
θ = 30°, d = 0,200 nm: Δs = 0,200 nm = 1λ.
Unterrichtsimpuls mit Erklärung
Starte bei d = 0,200 nm und θ = 30°: Die erste Ordnung ist erfüllt. Erhöhe nur θ auf 60°; der Zusatzweg wächst, ist aber kein ganzzahliges Vielfaches von λ. Eine größere Neigung bedeutet also nicht automatisch ein Maximum. Bei d = 0,300 nm liegt die erste Ordnung bei etwa 19,47°; diesen Zwischenwert zeigt die berechnete Winkelangabe, auch wenn er keine Reglerstufe ist.
Aus einem gemessenen Reflex den Abstand bestimmen
Gegeben sind λ = 0,154 nm und ein Reflex erster Ordnung bei 2θ = 44,0°. Gesucht ist der Abstand d der zugeordneten Netzebenen.
1. Winkel halbieren: θ = 22,0°. Der Taschenrechner muss für die folgende Rechnung auf Gradmaß stehen.
2. Nach d auflösen: Teile nλ durch 2 sin θ.
d = nλ2 sin θ = 1 · 0,154 nm2 sin 22,0° ≈ 0,206 nm
3. Einheit und Bedeutung prüfen: Das sind etwa 2,06 · 10−10 m. Dieser Wert ist ein Netzebenenabstand. Er ist nicht ohne weitere Strukturinformation automatisch der Abstand zweier nächster Atome oder die Kantenlänge einer Elementarzelle.
Welche Ordnungen sind überhaupt möglich?
sin θ = nλ2d
Der Sinus kann höchstens 1 sein. Daher muss nλ ≤ 2d gelten. Ist das Verhältnis größer als 1, existiert kein reeller Bragg-Winkel für diese Ordnung und diesen Ebenenabstand.
Beispiel: d = 0,200 nm und λ = 0,154 nm. Die erste Ordnung liegt bei etwa 22,64°, die zweite bei etwa 50,35°. Für n = 3 ergibt sich 1,155 als Sinuswert: Diese Ordnung ist geometrisch nicht möglich. Der Grenzfall nλ = 2d entspricht θ = 90° und Rückstreuung; nicht jeder Versuchsaufbau erreicht ihn.
Bei festem d und n führt eine größere Wellenlänge zu einem größeren Bragg-Winkel, solange die Ordnung möglich bleibt. Bei festem λ und n führt ein größerer Ebenenabstand zu einem kleineren Winkel. Genau diese Zusammenhänge ermöglichen Struktur- und Wellenlängenbestimmungen.
Typische Fehler vermeiden
2θ direkt einsetzen: Die Bragg-Formel verwendet den Glanzwinkel θ.
Den Winkel zum Lot verwenden: θ liegt zwischen Strahl und Ebene.
Den Faktor 2 weglassen: Ein- und auslaufender Anteil liefern je einen Zusatzweg.
Jeden erlaubten Winkel als starken Reflex garantieren: Die Kristallstruktur bestimmt die Intensität mit.
nm und m mischen: Verwende dieselbe Längeneinheit für d und λ.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · d = 0,20 nm und θ = 30°: Wie groß ist Δs?
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Δs = 2 · 0,20 nm · 0,5 = 0,20 nm.
3 · λ = 0,20 nm und Δs = 0,40 nm: Welche Ordnung liegt vor?
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n = 2. Der Zusatzweg beträgt zwei Wellenlängen.
4 · Für eine Ordnung ergibt sich nλ/(2d) = 1,2. Was bedeutet das?
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Die Ordnung ist geometrisch nicht möglich, denn sin θ kann nicht größer als 1 sein.
5 · Was passiert mit dem Winkel erster Ordnung bei größerem d und gleicher λ?
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Er wird kleiner, weil λ/(2d) kleiner wird.
6 · Sind Netzebenen echte spiegelnde Flächen im Kristall?
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Nein. Sie sind gedachte Ebenen; das Reflexionsbild beschreibt die Interferenz gestreuter Wellen.
Kostenlos üben
Die sechs Selbstchecks bieten Aufgaben mit erklärten Lösungen. Ein eigenes kostenloses Bragg-Arbeitsblatt wurde im Shop nicht gefunden. Wiederhole bei Bedarf Röntgenstrahlung und Interferenz über die Physik-Übersicht.
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